"Young Scientists Should Visit the Congress to See the Entire World of Mathematics"

1 October, 15:30

Original post by Kommersant

English version/Russian version

In less than a year, Saint Petersburg will host one of the world's most important scientific events, the International Congress of Mathematicians (ICM). Its program will start with plenary speeches. The right to deliver one of those is a great honor and a  recognition of professional achievement for a mathematician. Among the 21 speakers from 10 countries this year, four are Russian-speaking. Kommersant Science talked to one of them, Professor Igor Krichever.

Igor Moiseyevich Krichever, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Director of the Skoltech Center for Advanced Studies, Chief Researcher at Russian Academy of Sciences' Institute for Information Transmission Problems, Professor of the Department of Mathematics at Columbia University, Professor of the Department of Mathematics at the National Research University Higher School of Economics

Igor Moiseyevich, how did you find out that you had been chosen to speak at the plenary session? Is there some kind of suspense involved, like the one associated with the Nobel Prize, when the winner is called at four or five a.m.?  

Maybe there is some kind of protocol, but I don't know for sure.  I just got a call from Stanislav Smirnov, a member of the organizing committee, who informed me that I had been chosen. That was, of course, very pleasant news.

Have you been to Congresses a lot? We know you have already been chosen as a section speaker once, in Tokyo.

I have only been to a Congress once, back in 1990, and indeed, as a section speaker. Back then, I had been invited to several sections at once, and the importance of the event didn't fully come home to me. At the ICM, plenary and section speeches are very different. Of course, when you are invited to deliver a plenary report, this means recognition. It is an offer one simply does not turn down.

Why haven't you attended Congresses since '90?

I guess I share a common opinion that a congress is too big an assembly to learn anything new properly and to really meet people. The satellite conferences organized around a congress serve this purpose better. They are more narrow in topic, and they are the right place if you want to meet people and discuss some questions in person. Face-to-face interaction is very important in mathematics. Now, when five or six thousand people meet, it is not really face-to-face at all.

In my opinion, the Congress is a very special event. It is, first and foremost, a thing for the younger ones among us. Young people should definitely go to the Congress to see the world of mathematics as a whole, to discover its variety and magnitude, to feel that they belong to a big community, and to overcome the feeling of isolation.

What about the announcement of the Fields Prize winners and other landmark things in science, though?

Even if you don't personally attend a Congress, that doesn't mean you don't follow it at all. There are, of course, fundamental things going on there. Of course, the winners of the Fields and other prizes are announced, which outlines a certain trend in the development of mathematics for the near future, until the next Congress. Thus, it indeed is a very important event.

What will be the title of your report?

I don't know yet. I have a few options, but I'm still contemplating them. 

Is there some kind of a time limit for the speaker, or a framework for speeches?

One of the requirements regulates the speech duration. The second, naturally, concerns the content, as the report has to be of interest to the wider public.  And that's not an easy thing, as there are several thousand participants in the audience, and a lot of them are young people. How do you make a report interesting for everyone? That poses a certain challenge, and I am trying to solve it.

I just came back from Dubna, where a wonderful school for very talented school and junior collegiate students has been running for twenty years now. The faculty there is incredibly stellar, with teachers from all over the world. This year, for example, Andrey Okunkov and Stanislav Smirnov spoke there. In previous years, lectures had been given by the Academicians Vladimir Arnold, the very man who founded the school, Yakov Sinay, Dmitriy Anosov, Sergey Novikov, and many other world-renowned mathematicians. There is a remarkable tradition there: after a few years, many former schoolchildren and students return to speak to the next generation as lecturers. This time, one of them was telling the young guys about listening to lectures by Sergey Novikov. He said: “The first time over, I checked out at the ninth minute; the second time, I survived until the fifteenth - how's that for personal growth!  So don't be afraid. You won't understand everything, but these lectures will plant something in you that will sprout much later.”  

What exactly? Can you elaborate on how mathematical knowledge is transmitted? 

You'll hear obscure words that will resonate with new knowledge the next time. You know, I personally have found it very difficult to lecture schoolkids in accessible language. Of course, they are wonderful and smart, but they don't really know much yet. 

What did you talk to them about?

I talked about my favorite bit of science, the integrable systems; however, I tried not to have them learn something specific, but rather imbue them with the spirit and the philosophy of the integrable systems theory. I did my best to convey my view on this science, and I want to believe I succeeded. Now I'm thinking about finding the same balance between the important and the interesting for my future report, to make sure the listeners do not check out at the ninth minute.

Haute Couture Mathematics

The names of all the plenary speakers are known by now. Seeing them, can you describe the trends in the development of science for the coming years? Where will it go? 

I'm afraid I cannot give a definite answer to this. First, there are quite a lot of plenary speakers. Second, each of them represents a different field, so there will be very different trends.

Is there such a thing as fashion in mathematics? In a recent interview, Mikhail Feygelman lamented the fashion in physics: when a top theme arises, it causes a great outflow of minds. The output, though, is very modest.

I can understand where these conversations are coming from very well, as real physicists have long resented modern mathematical physics, and for a reason. For decades, many of the most brilliant young physicists have been irresistibly attracted to string theory. Hence, instead of doing real physics, they start doing it. However, I don't agree with Misha that there is no output. The output exists, but it gravitates towards mathematics. Thanks to so many brilliant people getting involved in string theory, mathematics has gained a lot. Of course, the physics community has lost some good minds meanwhile. Still, string theory is hard to resist. It is so seductively beautiful, people engage in it with great pleasure.

I understand Mr. Feygelman's skepticism to an extent, though. Although I often call myself a mathematical physicist, I am actually a mathematician by education and taste. However, I have interacted and worked with physicists quite a lot, so physics for me is a source of ideas and objectives. For example, quite a long time ago, Sergey Novikov and I developed the theory of operator quantization of bosonic strings. The problem is purely physical in its formulation, but to solve it, we had to develop the Fourier-Laurent theory on Riemann surfaces, a purely mathematical theory that is interesting and important in itself. Among the physicists I worked with, one that stands out is the prominent solid-state physicist Igor Dzialoshinskiy, one of the founders of the Landau Institute for Theoretical Physics. He instilled in me a taste for real solid-state physics. That is why I partly share Feigelman's distress. Indeed, the physics community often resembles a pack of dogs rushing headlong after a deer. The direction of their chase often shifts, too. This is not something that's common in mathematics.

At the second ICM, Poincaré predicted that mathematics would shift a lot toward physics over the next hundred years. So you can say he was right? 

Yes, I see it. In my opinion, the key to the success of any field is just how much it can interact with its environment and other sciences.  See, there's a thing that's been puzzling me since my early youth.  I understood that, on the one hand, mathematics develops according to its own deep-lying laws. Nevertheless, at some point, it helps in solving problems occurring in physics at the same period of time. I have seen this many times. This asserts to me that deep in our brains, at some level, the whole outer world already exists, and what we are doing is just trying to understand it using different methods.

Can you give an example of that?

Well, for instance, for many years, algebraic topology has been developing algebraic invariants that allow us to distinguish between topological spaces. I remember well how Academician Novikov explained some pieces of algebraic topology to physicists Aleksandr Polyakov and Aleksandr Belavin. Soon after that, the discovery of instantons happened, and you can't imagine modern theoretical physics without them now. That is, the two sciences were developing in parallel with each other and converged at just the right moment.

A similar example with the opposite direction can be given, too. These days, algebraic geometry is one of the leading fields of mathematics, at least judging by the number of Fields medals awarded. This wonderful, very deep field once arose to solve physical problems. In Poincaré's time, functions to help solve the equations of mechanics in physics were needed. Later, the connection between algebraic geometry and physics was severed, and so it went for many years. And then, around the 1970s and 1980s, its ideas and methods became extremely important for the theory of integrable systems. The interaction of algebraic geometry and the theory of soliton equations turned out to be mutually beneficial. For algebraic geometry, this manifested in the solution of one of the classical problems, the Riemann-Schottky. This situation and its subsequent development is what I will probably talk about at the Congress. An absolutely pure theory of mathematics turned out to be essential for physics, while something done in physics helped solve the problems of classical mathematics. We can see how Poincaré, a great scientist, correctly anticipated the general trend.

Is the fact that nowadays there is no big common project in physics, like the nuclear one, harmful of helpful for science? To what extent is the consolidation of many minds on a single problem useful for the development of mathematics? 

The time when the nuclear project brought the entire crème de la crème of physics together was wonderful for science. However, I do not see anything wrong with the fact that there is no such project now.  I'm comfortable with some century being called the century of physics, and another, the century of biology. Some century to come will probably be the century of chemistry. Still, I firmly believe that mathematics will be needed in any circumstance. It is the language that all the sciences speak.  Maybe, the next generation of physicists will gather around string theory, and mathematics will benefit immensely from it.

A Grant for Abstraction

How has mathematics changed since you became a student at the MSU Faculty of Mechanics and Mathematics? What are the fundamental differences?  

 When I entered the university, I caught the end of an era when general topology, headed by Academician Pavel Aleksandrov, had been the hottest thing.  Very soon after, algebraic topology, spearheaded by my mentor Sergey Novikov, became the queen of math, and general topology, despite all the elegance of its design, fell into oblivion. In my opinion, it had lost its ties with other areas of mathematics, and then it was no more. 

An attractive feature of mathematics that over recent decades came from physics is that you need ideas and methods from seemingly unrelated branches of mathematics to work. You need algebraic geometry, you need representation theory, you need the theory of Lie algebras and groups, and so on. When a lot of math gets mixed up, some completely unexpected connections can be found. And this is the most attractive thing.

In science, let's face it, fashion is closely tied to grants. Like, geographers say that once you add “climate change” to any application, the chances of getting additional funds increase dramatically. Does anything like that happen in mathematics?

Well, first, our grants are disproportionately smaller. They're personal, and they usually only cover a little bit of travel. Second, as someone who has split his time between here and America for over a quarter of a century, I can say that grants, fortunately, do not have the same importance in mathematics that they do in other sciences. For several years I was a dean of the Department of Mathematics at Columbia University. Every week I went to a meeting of science deans, where I felt like an outsider while everyone else was keen on discussing grants, equipment, and experiments. Still, I did not feel like a loafer. In American universities, mathematics departments act as service departments. The literal meaning of the term “service department” is, of course, incorrect. Its real meaning is that mathematics should be taught to everyone, including physicists, biologists, and economists. That is why our professors taught courses to five thousand students a semester, which brought the university more money than the physics grants. Mathematics has a different role; it is the backbone of education. No one ever complained about having to study too much math at the university.

In Skolkovo Tech, you run the Center for Advanced Studies. How do you manage to splice pure mathematics and technology? It seems like there have to be a few more intermediate links between the two. 

This is an interesting, complicated question. Originally, Skoltech had no plans to have pure mathematics. It was conceived as a purely technological university. I remember how my young colleagues at MIT pitched the creation of a department of mathematics, but were rejected at the time.

 The idea of creating a Center for Advanced Studies came under the current rector, Academician Kuleshov, who knows well how the engineering world works. He has stressed multiple times that no engineering university can expect to be successful if it does not have pure science to create some kind of a reference point.  Even MIT, for example, was originally founded as a technological university, but today it has the best pure math department in the world. One does not work without the other.

What does this cooperation look like in practice?

Well, it definitely doesn't look like some mathematicians coming in and immediately solving the applied problems faced by physicists and engineers. It is about teaching good mathematics. This idea is what caused me to agree to the proposal to organize the Center. I wanted it to become a center buzzing with world-class scientific life.  And it seems to have been a success.

Counting Mathematicians

When reading your interviews, I was shocked by one number: you said that back in your time, the MSU Faculty of Mechanics and Mathematics was producing about four hundred graduates a year, with only 10 staying in mathematics. 

Maybe I exaggerated a little, but our class of '72 really had 450 people. Of those, about two thirds were mathematicians and a third were mechanics. I also heard from Academician Arnold a figure once that struck me: in France, a country with a traditionally strong mathematics school, they too count on 10-15 École normale graduates per year, the choicest mathematicians. So it seems 10-15 is more than enough. At the same time, the remaining 435 graduates did not vanish either. Those were people with excellent education who manned all those secret military research institutions. I have several acquaintances with great careers in applied fields. That's just fine. I read a beautiful idea somewhere: not everyone can compose music, but everyone can enjoy it, hence we should make mathematics education so that people can enjoy mathematics. It sounds alluring, but I don't think such a goal is attainable.

Interestingly, discussions about the problems of mathematics education started very early at the ICM.  After one of them, the Kolmogorov reform started in the USSR, when they started to teach mathematical analysis, set theory, and so on in schools. This was when the famous boarding school you happened to attend opened.

Yes, but this kind of education always draws a harshly negative response from every government in the world.

Why is that?  

Well, ever since the French Revolution, the core organization principle has been very different; the most important thing was Égalité, equality. The creation of elite education institutions contradicts that. This is especially true today, given the dominance of all kinds of liberal trends. I was horrified to learn from an American newspaper that demanding mathematical proof from schoolchildren is a manifestation of white supremacy. If this is where we are going, then I'm afraid we are in big trouble. 

Very big indeed.

Going back to Kolmogorov's idea, I saw a facsimile copy of the order to set up boarding schools in Russia. There were about ten endorsements on it, including that of the Minister of Atomic Industry, the Minister of Defense, and all the other security agencies. Thus, although the creation of the school is entirely attributed to Academician Kolmogorov, I think he alone would not be able to amass such a strong collection of endorsements. There was another person, the nuclear physicist Isaak Kikoin, who had access to all of these ministers.  I remember well how he gave us our first lectures at the boarding school.

I also remember our last meeting with Andrey Kolmogorov. He had gathered all the boarding school graduates, who by that time had defended their doctoral theses, to give some interviews together, as once again we had to stop the closure of our school.

Was it hard to study there? You came to Moscow from Taganrog, leaving your family behind.

Yes, it was very, very hard. I had been a complete mommy's boy, fully taken care of in the family. I'm forever grateful to my mother who decided to let me go. However, when my parents came a month later to see how I lived, their first reaction was to take me back home. Can you imagine a room with nine 14-year-old boys living in it?

Chaos?

Well, something like that. I mean, they'd make us clean up every now and then, of course, but everything would come back to its original state very quickly. I'm very grateful to my dad who came and saw it all, and, instead of getting me out of there, he bought a screwdriver and started reassembling the ruined chairs.

Moscow and Leningrad

Let's talk a bit about Saint Petersburg where the Congress will be held. What is your relationship with that city, given that you, as far as I understand, belong to the Moscow school of mathematics?

Yes, I belong to the Moscow school. I'm proud to be a disciple of Sergey Novikov. For a long time, I had been interactioning with Yuriy Manin. I joined the workshop of Israel Gelfand. That said, in the area I worked in, there was always a second center of attraction, located in Saint Petersburg. While I can't say I lived on the train between the two cities, I would go to Saint Petersburg very often. The wonderful school led by Lyudvig Faddeyev and Olga Ladyzhenskaya worked there. I can say Leningrad is a dear place for me. I love this city a lot, and many of my close friends in science are Petersburgers from the Faddeyev school. This friendship lasts throughout our lives. This Congress is very important for Saint Petersburg. It is no secret that the brain drain had an adverse effect on Russian science. In solid state physics, a subject I'm close to, there is almost no one left. These days, our scientists receive Nobel Prizes as citizens of other countries. Mathematics has been luckier than many, as some critical mass is still here. This is true for Moscow, while Saint Petersburg is almost on the verge of a disaster. Therefore, I really hope that the Congress will be a sign of new life. We still have good, clever guys coming up, but if that critical mass is no more, we will soon have nobody to teach them. That is why it is so important that this Congress takes place.

2023 may be declared the Year of Mathematics in Russia, and this too can serve as an extra impetus for the development of science. 

This is important not only for Saint Petersburg and for Moscow. Recently, I've been to a conference organized by scientists from the Krasnoyarsk group, and I came back with a very positive impression.  Every time I see active groups exist somewhere, I have a sense of amazement and satisfaction. It is not enough to have one Skoltech and one HSE in the country. There should be many places like that.

In Russia, though, science has always been concentrated in the two capitals.

Different countries exist with different scientific cultures. Some are centripetal, others centrifugal. In France, any physicist or mathematician strives to get to Paris. This is something they can live with. At the same time, one of the virtues of American life is that even in a small-town university, you can sometimes meet first-class mathematicians. This was also true for our country during the Soviet period, when good people worked everywhere. These days, this layer has thinned, and we have to make sure it does not wash away completely. In the wake of that, it is crucial that the Year of Mathematics does not become a mere formality.

A World of Ideas

Igor, can you tell us a little about the way you work? What, in your opinion, is the ratio between logic and intuition in mathematical discovery? Quite a few scientists, including Yakov Sinay, talk about the primacy of intuition.

Yes. That's a given. I must say, though, this line of thinking has often gotten me deep into the weeds. You know, somewhere inside me there is a belief in the inner beauty and harmony of the world. I have often tried to prove something with a persistence worthy of a better cause, as it would seem to me that just a small bit was missing from the problem I was trying to solve, like a piece from a jigsaw puzzle. Simply because it was all so right and beautiful. I don't know if one should call it intuition or logic. I guess it's the belief that, as I said before, in some unknown way the whole world already exists in our brains.

Back when I was a very young man, I was present at some evening get-together of the greats. There was a talk about why mathematics was not a creative profession. I remember disagreeing and saying: “We are no different from creative colleges like the one at the Moscow Art Theatre, and the like. All we do is create. We invent.”

Well, creating something new is, in fact, creativity.

Yes, and I felt offended, like a young man can be offended. To this, the wise men replied: “If a poet doesn't write his line, it will never come to be. And if you don't prove a theorem, someone else will come along and prove it anyway.” Everything already exists somewhere around us, and we only discover it in a certain order.

English version/Russian version

Менее чем через год в Санкт-Петербурге состоится одно из самых значимых научных мировых событий — Международный конгресс математиков (МКМ). Право выступить на МКМ с пленарным докладом — одна из самых высоких оценок профессиональных достижений математика. Среди 21 докладчика из десяти стран четверо будут русскоговорящими. “Ъ-Наука” встретился с одним из них — профессором Игорем Кричевером.

Игорь Кричевер, доктор физико-математических наук, профессор, директор Центра перспективных исследований “Сколтеха”, главный научный сотрудник ИППИ РАН, профессор факультета математики Колумбийского университета, профессор факультета математики Высшей школы экономики.

— Игорь Моисеевич, как вы узнали, что вас выбрали для выступления на пленарном заседании? Может, была интрига наподобие нобелевской, когда лауреату звонят в четыре или пять утра?

— Может быть, есть какой-то протокол, но я его не знаю. Мне просто позвонил член оргкомитета Стас Смирнов и сообщил, что меня избрали. Это было, конечно, очень приятно.

— Как часто вы бывали на конгрессах до этого? Вы уже избирались один раз секционным докладчиком в Токио.

— На конгрессе я был всего один раз в 1990 году, действительно в роли секционного докладчика. Тогда я получил приглашения на несколько секций сразу и полностью не прочувствовал значимость этого события. На МКМ пленарные и секционные доклады — это, как говорится, две большие разницы. Конечно, когда тебя приглашают сделать пленарный доклад, это некий вид признания. Это то предложение, от которого не отказываются.

“Личное общение в математике очень важно”

— Почему вы не посещали конгресс с 1990 года?

— Наверное, я разделяю точку зрения многих математиков, что конгресс — это слишком большое собрание для того, чтобы можно было толком что-то услышать и по-настоящему повстречаться с людьми. Для этой цели скорее служат сателлитные конференции, которые организуются вокруг конгресса. Они более узкие по теме, и там встречаются люди, с которыми можно лично обсудить какие-то вопросы. Потому что личное общение в математике очень важно. А когда встречаются пять-шесть тысяч человек, это уже не очень лично.

На мой взгляд, конгресс — это очень специальное мероприятие. Оно в первую очередь нужно для молодежи. Молодежь обязательно должна съездить на конгресс, чтобы увидеть мир математики целиком, раскрыть его многогранность и величину, почувствовать принадлежность к большому сообществу, преодолеть ощущение изолированности.

— А как же объявление лауреатов премии Филдса и другие знаковые для науки вещи?

— Если лично не участвуешь в конгрессе, это не означает, что ты не следишь за его работой, потому что там, конечно, происходят принципиальные вещи. В первую очередь объявляются лауреаты Филдсовской и других премий, а это — некий тренд развития математики на ближайшее время, до следующего конгресса. Так что это очень важное событие.

— Как будет называться ваш доклад?

— Еще не знаю. У меня есть несколько вариантов, но пока я еще думаю.

— Есть какой-то регламент для докладчика, какие-то рамки для выступлений?

— Одно из требований связано с продолжительностью. Второе, по умолчанию, с содержанием: доклад должен быть интересным широкой публике. Это сложно, потому что в зале собирается несколько тысяч участников, значительная часть которых — молодежь. Как сделать так, чтобы всем было интересно? Это определенный вызов, и я пытаюсь его решить.

“Вы не бойтесь, вы не все поймете”

Только что я вернулся из Дубны, где уже двадцать лет проходит замечательная школа для очень продвинутых школьников и студентов младших курсов. Там собирается просто невероятно звездный состав преподавателей со всего мира. В этом году там, например, выступали Андрей Окуньков и Стас Смирнов. А в прошлые годы читали лекции академик Владимир Арнольд, который, собственно, организовал эту школу, академик Яков Синай, академик Дмитрий Аносов, академик Сергей Новиков и много других всемирно известных математиков. Там существует замечательная традиция: многие школьники и студенты возвращаются, чтобы через несколько лет выступить перед следующим поколением слушателей уже в роли лекторов. Один из них рассказывал молодым ребятам, как он слушал лекции Сергея Новикова. Он говорит: “Первый раз я отключился на девятой минуте, а во второй — уже на пятнадцатой, так что это был мой рост! Поэтому вы не бойтесь, вы все не поймете, но это заронит в вас что-то, что прорастет намного позже”.

— О чем вы говорили со школьниками?

— Про свою любимую науку — про интегрируемые системы, но старался сделать так, чтобы они не выучили что-то конкретное, а прониклись духом, в каком-то смысле философией теории интегрируемых систем. Я пытался передать свой взгляд на эту науку и, хочется верить, это удалось. Сейчас я думаю о том, как бы найти такой же баланс между важным и интересным для будущего доклада, чтоб слушатели не отключились на девятой минуте.

— Есть ли в математике мода? В интервью Михаил Фейгельман сокрушался по поводу физики: как только возникает топовая тема, она вызывает большой отток умов. А выхлоп получается очень маленький.

— Прекрасно понимаю, откуда идут такие разговоры, потому что настоящие физики давно и не без основания в обиде на современную математическую физику. Вот уже несколько десятилетий самых блестящих молодых физиков неудержимо привлекает теория струн. И вместо того, чтобы заниматься реальной физикой, они начинают заниматься ею. Но я не согласен с Мишей, что выхлопа нет. Выхлоп есть, но он идет в сторону математики. От того, что огромное количество умных людей занимаются теорией струн, математика получила очень много. Конечно, при этом физическое сообщество недосчиталось каких-то умов. Но с теорией струн сложно бороться, уж очень она соблазнительно красивая, поэтому люди занимаются ею с удовольствием.

“Свора собак, которые увидели оленя”

Впрочем, некоторый скепсис Фейгельмана я понимаю, потому что, хотя часто называюсь математическим физиком, на самом деле по образованию и по вкусу я — математик. Другое дело, что я достаточно много общался и работал с физиками, поэтому физика для меня — некий источник идей, постановок задач.

Например, достаточно давно мы с Сергеем Новиковым развивали теорию операторного квантования бозонных струн. Задача по постановке чисто физическая, но для ее решения пришлось развить теорию Фурье-Лорана на римановых поверхностях, а это уже чисто математическая теория, которая интересна и важна сама по себе. Среди физиков, с которыми я работал, хочу выделить выдающегося физика-твердотельщика Игоря Дзялошинского, одного из основоположников Института теоретической физики имени Ландау. Он привил мне вкус к настоящей твердотельной физике. Поэтому я отчасти разделяю сокрушения Фейгельмана. Действительно, сообщество физиков очень часто напоминает свору собак, которые увидели оленя и все бросились за ним. И направление погони часто меняется. В математике все-таки такого нет.

— На втором МКМ Пуанкаре предсказал, что математика за следующие сто лет сильно сдвинется к физике. Получается, он был прав, вы это видите?

— Да, вижу. В моем представлении залог успеха развития какой-нибудь области как раз в том, насколько она может взаимодействовать со своим окружением, с другими науками. Меня с ранней молодости занимала одна загадка. Я понимал, что, с одной стороны, математика развивается, следуя своим глубоко внутренним законам. Тем не менее в какой-то момент она помогает решать задачи, которые в этот же период времени параллельно возникают в физике. Я много раз это видел. Это утверждает меня в мысли, что глубоко в нашем мозгу на каком-то уровне уже зашит весь внешний мир и мы просто пытаемся его понять с помощью разных методов.

— Можно пример?

— Например, алгебраическая топология много лет разрабатывала алгебраические инварианты, позволяющие различать топологические пространства. И я хорошо помню, как Сергей Новиков объяснял какие-то кусочки алгебраической топологии физикам Саше Полякову и Саше Белавину. И вскоре после этого произошло открытие инстантонов, без которых сегодня невозможно представить современную теоретическую физику. То есть две науки развивались параллельно друг с другом и в нужный момент пересеклись.

Похожий пример можно привести в обратную сторону. Сейчас алгебраическая геометрия — одна из лидирующих областей математики, по крайней мере, если судить по числу Филдсовских медалей. Эта замечательная, очень глубокая область когда-то возникла для решения физических задач. Во времена Пуанкаре нужны были функции, с помощью которых можно было решать уравнения механики в физике. Потом связь алгебраической геометрии с физикой разорвалась на много лет. И вот примерно в 1970–80-е годы ее идеи и методы стали необычайно важны для теории интегрируемых систем. Взаимодействие алгебраической геометрии и теории солитонных уравнений оказалось взаимовыгодным. Для алгебраической геометрии оно выразилось в решении одной из классических проблем — проблемы Римана-Шоттки. Возможно, про это и последующее развитие этого направления я и буду говорить на конгрессе: как абсолютно чистая теория математики оказалась нужна в физике и как что-то, сделанное в физике, помогло решить проблемы классической математики. Так что Пуанкаре был великим ученым, который правильно предчувствовал общую тенденцию.

“Математика — основа образования”

— Как поменялась математика с того времени, как вы пришли на мехмат? В чем принципиальное отличие?

— Когда я пришел в университет, то застал окончание эпохи, когда “царицей полей” была общая топология во главе с академиком Александровым. Очень скоро “царицей полей” стала алгебраическая топология, безусловным лидером которой стал мой учитель Сергей Новиков, а общая топология, при всем изяществе конструкций, оказалась мертвой. Это произошло, на мой взгляд, потому, что она потеряла связи с другими областями математики.

Одна из привлекательных черт математики, которая пришла в последние десятилетия из физики, это то, что для работы нужны идеи и методы на первый взгляд ничем не связанных между собой разделов математики. Нужна алгебраическая геометрия, нужна теория представлений, нужна теория алгебр и групп Ли и так далее. Когда много математики перемешивается, обнаруживаются совершенно неожиданные связи. И это самое привлекательное.

— В науке мода все-таки тесно завязана на гранты. Географы, например, говорят, что стоит дописать в любую заявку “изменение климата”, как шансы получить средства резко возрастают. Есть ли что-то подобное в математике?

— Во-первых, у нас гранты несоизмеримо меньше. Они индивидуальные и их, как правило, хватает только на то, чтобы немножко поездить. Во-вторых, как человек, проживший наполовину в Америке больше четверти века, могу сказать, что гранты, к счастью, в математике не играют той роли, которую они играют в других науках. Несколько лет я был деканом факультета математики Колумбийского университета. Каждую неделю я ходил на собрание деканов научных (science) факультетов, где чувствовал себя посторонним, потому что все остальные активно обсуждали гранты, оборудование, эксперименты. Но при этом я не ощущал себя нахлебником. В американских университетах математический факультет выступает в роли service-department. Буквальный перевод этого термина — “обслуживающий факультет”, конечно, неправилен. Смысл его в том, что математику нужно учить всем: и физикам, и биологам, и экономистам. Поэтому на курсы, которые читались нашими профессорами, записывалось по пять тысяч студентов в семестр, что приносило университету больше денег, чем физические гранты. У математики другая роль, она — основа образования. Никто никогда не жаловался, что ему в университете дали слишком много математики.

— В одном из ваших интервью меня потрясла цифра: вы сказали, что в ваше время мехмат МГУ выпускал порядка четырехсот выпускников и только десять оставались в математике.

— Может быть, я немножко преувеличил, но у нас на курсе действительно было 450 человек. Из них примерно две трети математиков и треть — механиков. Сам я тоже когда-то услышал от академика Арнольда поразившую меня цифру: во Франции, где математическое образование традиционно сильно, рассчитывают в год на 10–15 выпускников Ecole normale — цвет математики. Так что на самом деле 10–15 человек более чем достаточно. Но при этом оставшиеся 435, отучившихся на мехмате, тоже никуда не пропадали. Это были люди с великолепным образованием, которые шли во все эти закрытые “военные ящики”. У меня есть несколько знакомых, которые сделали прекрасную карьеру в прикладных областях.

— Интересно, что на МКМ очень рано начали обсуждать проблемы математического образования. А после одного из них в СССР началась колмогоровская реформа, когда в школах начали преподавать математический анализ, теорию множеств и так далее.

— Да, но такое образование всегда вызывает резко негативное отношение со стороны правительств любой из стран мира. Потому что начиная со времен французской революции принцип-то устроения был совсем другим, главным провозглашалось — Egalite — равенство. А создание элитного образования ему противоречит. Это особенно актуально сейчас, в связи с засильем всяких либеральных тенденций. Я с ужасом прочитал в одной из американских газет буквально следующее: требование математических доказательств от школьников — это проявление “белого” превосходства. Если так дело пойдет дальше, боюсь, плохи наши дела.

“Если вы не докажете теорему, ее докажет кто-то другой”

— Игорь Моисеевич, каково в математическом открытии соотношение логики и интуиции? Некоторые ученые, включая Якова Синая, говорят о первостепенности интуиции.

— Да. Это безусловно. Но вообще эта линия размышлений меня часто заносила в дебри. Где-то внутри меня есть вера во внутреннюю красоту и гармонию мира. И я часто с упорством, достойным лучшего применения, пытался что-то доказать. Казалось, что в той или иной задаче, которой я занимался, не хватает какого-то кусочка, как не хватает части на картине или на мозаике. Потому что так правильно и красиво. Я не знаю, можно это назвать интуицией или логикой. Наверное, это вера в то, что, как я уже говорил, в нашем мозгу непонятно каким образом уже записан весь мир.

Когда я был очень молодым, то на каких-то вечерних посиделках в обществе великих зашел разговор о том, почему математика не является творческой профессией. Помню, я не соглашался и сказал: “Мы ничем не отличаемся от творческих вузов наподобие МХАТа и так далее. Мы только и занимаемся тем, что творим”. На это умудренные люди сказали: “Если поэт не напишет свою строчку, то она никогда и не возникнет. А если вы не докажете теорему, то придет кто-то другой и все равно ее докажет”. Все уже где-то есть помимо нас, и мы просто открываем это в некотором порядке.

Интервью взяла Елена Кудрявцева