Winning the Young Russian Mathematicians Prize

2 September, 18:27

English version/Russian version

Nikolay Bogachev comes from a family of mathematicians and grew to find his own path in this fascinating field. Recently he won a prize for Young Russian Mathematicians in the nomination "Young Scientists". This highly selective award was established by the educational foundation "Talent and Success" and is given for the first time ever. In addition to the award itself, the laureates also receive a grant to participate in the International Mathematical Congress 2022 in St. Petersburg. It's expected that over time this prize will take the same place as the prize of the European Mathematical Society.

Nikolay shared his story with Skoltech’s True Story project and talked about what mathematicians do in their everyday life and how to achieve success in the field.

Why mathematics

I became interested in mathematics in high school, when I was about 11-12 years old. At that time my parents, who are both mathematicians, brought me to a mathematical club at the Department of Mechanics and Mathematics (dubbed "MekhMat" by the locals) at the Lomonosov Moscow State University (MSU).

At the age of 13, I entered school N54 (now school N171) in Moscow which was particularly strong in maths and where most of the math classes were taught by MSU professors. I participated in several olympiads, and even got some prizes, though I was not very successful at first. I couldn't even make it to the final of the Russian National Math Olympiad. Needless to say, I felt disappointed. Now I can say that it is not so important, since one can become a strong mathematician without any olympiad achievements.

As far as I remember, I always liked geometry. And geometry is everywhere! The ability to draw or to imagine beautiful and complicated pictures has always given me great pleasure. And even more, I always enjoyed considering the same problem from different points of view, for example, to move from geometric language to algebraic and back.

In 2009, at the age of 16, I entered the actual MekhMat faculty of MSU, which is one of the top math departments in Russia and has many prominent professors who are world-class mathematicians. After math school, I was already familiar with some basic notions of higher mathematics, so it was not very difficult for me to be a freshman at MekhMat. This gave me a bit

of extra time, which I invested into attending advanced courses at the Independent University of Moscow (IUM).

In my sophomore year, we had to choose a scientific advisor. At that time, I already knew the late Professor Vinberg and had read his amazing textbook A Course in Algebra. I wanted to choose him as my advisor. However, just to be sure, I forced myself to doubt my choice, and attended various special seminars on algebra, geometry, number theory, and probability. Finally, all my doubts completely disappeared when in Spring 2011 Vinberg gave a fascinating special course "Discrete groups of motions". Thus, starting in Spring 2011 and until my PhD defense in 2019 at HSE, Ernest Borisovich Vinberg was my scientific advisor. It's worth mentioning that in 2014 I graduated with honors from MekhMat MSU, and in 2018 I finished my post-graduate study at MSU.

Let me say a few words about my advisor. Professor Ernest Borisovich Vinberg was a great mathematician and a kind person. He is widely known for his fundamental results and breakthrough discoveries in discrete subgroups of Lie groups, Lie groups and algebras, as well

as in invariant theory, representation theory, and algebraic geometry. To this day, I am very grateful to Vinberg, whose encouragement, constant help and precious advice were so important for me over the years. On the photo below he is playing with my son Sasha.

What mathematicians do

Let me tell you what it means to be a scientist or, more precisely, a mathematician. The main part of our work is research. In mathematics, this means that we try to solve some open problems (unlike exam or olympiad problems, nobody knows how to solve the "open" ones). In general, we create and study mathematical objects. For example, we can try to find some new interesting properties of already existing mathematical notions or find unexpected relations between them. Sometimes we need to discover new objects or develop some new methods or algorithms.

An important part of the job is to publish papers and communicate our research to colleagues. For these purposes, we use conferences, workshops, research visits to other universities in Russia and abroad. This part of the job is very exciting: you visit new countries and beautiful places, you meet new interesting people, and make new friends. Recently, Zoom meetings and email exchanges have become more widespread. It is also very important to work with co-authors with different backgrounds and mathematical styles. This helps to understand and learn more new things, which brings you up to a new level and gives a broader outlook on the profession.

Another part of our work is to give courses and advise students (which means that we should find some appropriate problems for them and show them around the "academic kitchen"). We also organize research seminars, workshops, and conferences.

At Skoltech, I am a Research Scientist without any teaching load, and this is a very comfortable job. I am also an Associate Professor at the Moscow Institute of Physics and Technology (MIPT, or "Phystech") where I have two PhD students and four undergraduates under my supervision. Besides that, I also have a small teaching load: for example, in Spring 2021 I gave an advanced course "Geometry, arithmetic and dynamics of discrete groups" for students from IUM, MIPT and HSE.

Research and the Young Russian Mathematicians Award

The award statement of my prize is "for a series of works that represent a significant contribution to the modern theory of hyperbolic lattices and groups generated by reflections". The topic of this work is at the intersection of such expansive fields as discrete subgroups of Lie groups, geometric group theory, hyperbolic geometry, geometric topology, and number theory. This is a fascinating blend of many beautiful ideas and methods that meet and complement each other.

Let me try to describe what it means in more detail. We will start the discussion with reflections and symmetries. Mirrors, reflections and mirror symmetries are part of our culture for several centuries or even millennia. Some of us (or maybe all of us) are familiar with a children's toy, the kaleidoscope, in which colorful pieces of glass form an attractive and amazing pattern.

Such patterns are obtained by multiple reflections with respect to mirrors that have pairwise angles of π/3. The value of these reflection angles is very important here: if it were different from the numbers of the form π/k, then we would not obtain such a beautiful pattern.

Generalizing and formalizing this concept, we may consider a convex polytope P in a metric space X and the group Г generated by reflections in the supporting hyperplanes of the facets of P. We say that Г is a discrete reflection group, if the images of P under the action of Γ tessellate X (i.e., X is entirely covered by copies of P, such that their interiors do not overlap). The polytope P,in this case, is called the fundamental Coxeter polytope for Γ.

For example, we can tile the plane R^2 by triangles or squares, as shown in Picture 1a. In both cases, such tiling can be obtained from a single cell by the action of the group generated by reflections with respect to the sides of the corresponding triangle or square.

Similar tessellations can be considered not only for reflection groups, but also for many other groups, which we call 'discrete'. For example, the tessellation of the plane by squares in Picture 1b can be also obtained by the action of the discrete group Z^2 of translations by vectors with integer coordinates.

The concept of discrete groups and tessellations can be generalized to many other spaces, for example to Lobachevsky (or hyperbolic) space. Lobachevsky space is very important in mathematics and beyond. The discovery of this space (made by Lobachevsky, Bolyai, and Gauss independently) was probably one of the most important scientific discoveries of the 19th century. Hyperbolic space has many interesting features and plays an important role not only in mathematics but also in theoretical physics and computer science. Some reflective tilings of the hyperbolic plane are illustrated in Picture 2 (different models of the hyperbolic plane are represented there).

I should also add that such tilings of spaces always correspond to the so-called manifolds and orbifolds. For example, consider a tiling of the Euclidean plane by squares under the action of the group of integral translations. Using the vertical and horizontal generating translations we identify the opposite sides of the unit square and obtain a torus after such gluing (see Picture 3 below).

Another picture (see Picture 4) shows how to obtain a hyperbolic surface with one "cusp" (a small infinite end) using a tiling of the Lobachevsky plane. This surface is topologically equivalent to a torus with one puncture (a miniature "hole"). Moreover, every surface of genus g>1 (see Picture 5) is "hyperbolic" in the sense that it can be obtained from some tiling of the Lobachevsky plane.

The situation becomes much more complex when we consider the so-called arithmetic groups. For example, the group of integral automorphisms preserving the standard quadratic form of signature (n,1) naturally acts by isometries on hyperbolic n-space. Such arithmetic groups have many interesting geometric and topological properties.

Most of my results are devoted to building bridges between geometric topology and number theory of hyperbolic manifolds and orbifolds. For example, in a series of papers I developed a new method for classification of arithmetic hyperbolic reflection groups. Namely, I proved that compact Coxeter polytopes have an edge such that the distance between its framing facets is small enough. This allows me to obtain a complete list of a particular class of the so-called sub-2-reflective arithmetic groups.

In a joint paper with Misha Belolipetsky (IMPA, Brazil), Sasha Kolpakov (Univ. Neuchâtel, Switzerland), and Leone Slavich (Univ. Pavia, Italy) we obtained an effective arithmeticity criterion for hyperbolic manifolds and orbifolds in terms of their totally geodesic subspaces. For example, let us take a fundamental polygon of a reflection group acting in the plane. We can consider this polygon with reflection singularities in its sides as an orbifold. Then totally geodesic lines in this orbifold will correspond to closed billiards inside this polygon. Roughly speaking, our main theorem shows that the corresponding orbifold is arithmetic if and only if it has infinitely many such totally geodesic subspaces. We also show that in this case, all such subspaces have a simple algebraic description. This work results from a synergy between algebra, geometry, number theory, and topology.

Of course, I am very happy to win this prize. There are many strong young mathematicians in Russia and abroad, so it is a great honor for me that my work has received such attention. Indeed, I hoped (but did not expect) to get the prize. I feel that I am fortunate, so I should work with even more energy to meet new goals and expectations.

Also, I am very pleased that the fascinating research domain of reflection groups receives attention since I hope that this research area will attract other young mathematicians in Russia. The domain of descrete (and hyperbolic) groups was significantly developed by such prominent Russian and Soviet mathematicians as Gromov, Kazhdan, Margulis, and Vinberg, but unfortunately, very few researchers in this area have remained in Russia lately.

Finally, I am very grateful to all my friends and colleagues for the great experience of working together. Without their support, none of my present achievements would ever be possible.

Influence of your research for the future

I hope that my methods will be used soon for classification of arithmetic hyperbolic reflection groups, which seems to be doable at least in Lobachevsky spaces of dimension 3 or 4. Besides that, together with Sasha Perepechko (IITP RAS and MIPT) and Rémi Bottinelli (Univ. Neuchâtel, Switzerland) we implemented the so-called Vinberg algorithm, which is widely used by experts not only in discrete groups, but also in algebraic geometry. There have been efforts to produce a robust and versatile computer implementation of Vinberg's algorithm since 1980's: one would wish for something that applies easily to a large variety of arithmetic groups to avoid creating custom code for each particular case. We started our project in 2017 and now it is virtually complete. This is not a very "mathematical" result, as it mostly concerns creating new software and programming. However, I hope that our software will become a standard tool in the expert's toolbox because it can be used in a very general setting.

Finally, I expect that our new powerful arithmeticity criterion will shed some light on further open problems in the domain of arithmetic groups, since we created a new method with many interesting consequences.

Advice to young scientists

The most important thing is to choose your scientific advisor who will be not only a strong mathematician but also just a good person. Besides that, you should be very patient and be ready that you will not have any progress during several months or even a year. It is part of the job. It is not so easy to find a suitable research problem to start your PhD, and even more so later on in your career. Last year I tried to solve about 15 problems, and only 3 of them allowed good progress. Every researcher has a period when he or she has a hard time moving forward. It feels discouraging, but such times may and should be used for reading new books and papers, watching online courses, and learning from your colleagues. This is an important part of professional growth that leads to future achievements and allows you to do more interesting maths.

Future plans and goals

I am going to work not only on the above-mentioned subjects but will also try to study and understand other branches of pure mathematics. Besides that, I am interested in learning more about possible applications of hyperbolic geometry in the real world. For example, very recently we submitted one paper to a top ML conference where we study nearest neighbor search algorithms in Lobachevsky spaces. Also, I would like to organize some research events in Russia including a conference and a research seminar, where I hope to invite some of the most renowned scientists.

Of course, all my success and future aspirations would not be possible without constant support and love from my family, whom I'm infinitely grateful for.

English version/Russian version

Лауреат премии Молодых российских математиков Николай Богачев

Николай Богачев вырос в семье математиков и нашел свой собственный путь в этой увлекательной области. Недавно он стал лауреатом премии для молодых математиков России в номинации "Молодые ученые". Эта престижная награда была учреждена образовательным фондом "Талант и успех" и вручается впервые. Помимо самой премии, лауреаты также получили грант на участие в Международном математическом конгрессе 2022 года в Санкт-Петербурге. Ожидается, что со временем эта премия займет то же место, что и премия Европейского математического общества.

Николай поделился своей историей с проектом True Story Сколтеха и рассказал, чем занимаются математики в повседневной жизни и как добиться успеха в этой области.

Почему математика

Я заинтересовался математикой в средней школе, когда мне было около 11-12 лет. В то время мои родители, оба математики, привели меня в математический клуб на механико-математическом факультете (свои называют его мехмат) Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (МГУ).

В 13 лет я поступил в школу №54 (ныне школа №171) в Москве, которая была особенно сильна в математике и где большинство уроков математики вели профессора МГУ. Я участвовал в нескольких олимпиадах и даже получил несколько наград, хотя поначалу не очень преуспевал. Я даже не смог попасть в финал Всероссийской олимпиады по математике. Конечно, я был разочарован. Теперь я могу сказать, что это не так важно, так как можно стать сильным математиком без каких-либо олимпиадных достижений.

Насколько я помню, мне всегда нравилась геометрия. А геометрия повсюду! Умение рисовать или представлять красивые и сложные картины всегда доставляло мне огромное удовольствие. Более того, мне всегда нравилось рассматривать одну и ту же задачу с разных точек зрения, например, переходить с геометрического языка на алгебраический и обратно.

В 2009 году, в 16 лет, я поступил на мехмат МГУ. Это один из ведущих математических факультетов в России с большим количеством выдающихся профессоров-математиков мирового класса. После математической школы я уже был знаком с некоторыми основными понятиями высшей математики, поэтому мне не составило большого труда поступить на первый курс мехмата. Это дало мне немного дополнительного времени, которое я потратил на посещение курсов повышения квалификации в Независимом Московском университете (НМУ).

На втором курсе мне пришлось выбирать научного руководителя. В то время я уже знал профессора Винберга, ныне покойного, и читал его потрясающий учебник "Курс алгебры". Я хотел выбрать его своим руководителем. Однако, чтобы быть уверенным, я заставил себя усомниться в своем выборе и сходил на разные семинары по алгебре, геометрии, теории чисел и вероятности. Наконец, все мои сомнения полностью исчезли, когда весной 2011 года Винберг провел увлекательный специальный курс "Дискретные группы движений". Таким образом, начиная с весны 2011 года и до защиты кандидатской диссертации в 2019 году в ВШЭ моим научным руководителем был Эрнест Борисович Винберг. В 2014 году я с отличием окончил мехмат МГУ, а в 2018 году закончил аспирантуру МГУ.

Позвольте мне сказать несколько слов о моем руководителе. Профессор Эрнест Борисович Винберг был великим математиком и добрым человеком. Он широко известен своими фундаментальными результатами и прорывными открытиями в дискретных подгруппах групп Ли, группах Ли и алгебрах, а также в теории инвариантов, теории представлений и алгебраической геометрии. По сей день я очень благодарен Винбергу, чья поддержка, постоянная помощь и ценные советы были так важны для меня на протяжении многих лет. На фото ниже он играет с моим сыном Сашей.

Что делают математики

Позвольте мне рассказать вам, что значит быть ученым или, точнее, математиком. Основная часть нашей работы — это исследования. В математике это означает, что мы пытаемся решить некоторые открытые задачи (в отличие от экзаменационных или олимпиадных задач, никто не знает, как решить "открытые" задачи). В общем, мы создаем и изучаем математические объекты. Например, мы можем попытаться найти какие-то новые интересные свойства уже существующих математических понятий или найти неожиданные отношения между ними. Иногда нам нужно открывать новые объекты или разрабатывать какие-то новые методы или алгоритмы.

Важная часть нашей работы — публикация статей и информирование коллег о наших исследованиях. Для этого есть конференции, семинары, научные визиты в другие университеты России и за рубежом. Эта часть работы очень увлекательна: вы посещаете новые страны и красивые места, встречаетесь с новыми интересными людьми и заводите новых друзей. В последнее время стало больше Zoom-встреч и общению по почте. Также очень важно работать с коллегами с разным опытом и математическим подходом. Это помогает понять и узнать больше нового, что выводит на новый уровень и дает более широкий взгляд на профессию.

Другая часть нашей работы — проводить курсы и консультировать студентов (это значит, что мы должны найти для них подходящие задачи и показать им "академическую кухню"). Мы также организуем научный семинары, практикумы и конференции.

В Сколтехе я являюсь научным сотрудником без какой-либо учебной нагрузки, и это очень удобная работа. Я также являюсь доцентом Московского физико-технического института (МФТИ, или Физтех), где под моим руководством работают два аспиранта и четыре магистранта. Кроме того, у меня также небольшая учебная нагрузка: например, весной 2021 года я читал углубленный курс "Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп" для студентов НМУ, МФТИ и ВШЭ.

Научная работа и премия Молодых российских математиков

В заявлении о присуждении мне премии сказано "за цикл работ, внесших значительный вклад в современную теорию гиперболических решеток и групп, порожденных отражениями". Тема этой работы находится на пересечении таких обширных областей, как дискретные подгруппы групп Ли, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, геометрическая топология и теория чисел. Это увлекательное сочетание множества прекрасных идей и методов, которые встречаются и дополняют друг друга.

Я попытаюсь описать, что это значит. Начнем с отражений и симметрий. Зеркала, отражения и зеркальная симметрия являются частью нашей культуры на протяжении нескольких веков или даже тысячелетий. Некоторые из нас (а может быть, и все мы) знакомы с детской игрушкой-калейдоскопом, в котором разноцветные кусочки стекла образуют привлекательный и удивительный узор.

Такие узоры получаются путем многократного отражения относительно зеркал, расположенных под углами π/3. Значение этих углов отражения здесь очень важно: если бы оно было другим из чисел вида π/k, то мы бы не получили такой красивый узор.

Обобщая и формализуя эту идею, мы можем рассмотреть выпуклый многогранник P в метрическом пространстве х, в группе Г, порожденной отражениями в опорных гиперплоскостях граней P. Будем говорить, что Г-дискретная группа отражений, если х замощено образами P под действием Γ (т. е., х сплошь покрыто копиями P, так, что их наружные грани не пересекаются). Многогранник P в этом случае называется многогранником Кокстера в Γ.

Например, мы можем разбить плоскость R^2 на треугольники или квадраты, как показано на рисунке 1a. В обоих случаях такая плитка может быть получена из одной ячейки действием группы, порожденной отражениями относительно сторон соответствующего треугольника или квадрата.

Подобные мозаики можно рассматривать не только для групп отражения, но и для многих других групп, которые мы называем "дискретными". Например, замощение плоскости квадратами на рисунке 1b также может быть получено действием дискретной группы Z^2 параллельных переносов векторами с целочисленными координатами.

Понятие дискретных групп и мозаик может быть обобщено на многие другие пространства, например, на пространство Лобачевского (или гиперболическое). Пространство Лобачевского очень важно в математике и за ее пределами. Открытие этого пространства (сделанное независимо друг от друга Лобачевским, Бойяи и Гауссом) вероятно, было одним из самых важных научных открытий 19 века. Гиперболическое пространство обладает многими интересными особенностями и играет важную роль не только в математике, но и в теоретической физике и информатике. Некоторые паркеты на гиперболической плоскости показаны на рисунке 2 (там представлены различные модели гиперболической плоскости).

Я должен также добавить, что такие разбиения пространств всегда соответствуют так называемым многообразиям и орбифолдам. Например, рассмотрим разбиение евклидовой плоскости на квадраты под действием группы переносов. Используя вертикальный и горизонтальный переносы, мы определяем противоположные стороны единичного квадрата и после такого склеивания получаем тор (см. Рисунок 3 ниже).

На другом рисунке (см. Рисунок 4) показано, как получить гиперболическую поверхность с одним "каспом" (маленьким бесконечным концом), используя паркет на плоскости Лобачевского. Эта поверхность топологически эквивалентна тору с одним проколом (миниатюрное "отверстие"). Более того, каждая поверхность рода g>1 (см. Рисунок 5) является "гиперболической" в том смысле, что ее можно получить из некоторого пакрета на плоскости Лобачевского.

Ситуация становится намного сложнее, когда мы рассматриваем так называемые арифметические группы. Например, группа интегральных автоморфизмов, сохраняющих стандартную сигнатуру квадратичной формы (n, 1), естественным образом изометрична на гиперболическом n-пространстве. Такие арифметические группы обладают многими интересными геометрическими и топологическими свойствами.

Большинство моих результатов посвящено связям между геометрической топологией и теорией чисел гиперболических многообразий и орбифолдов.

Например, в серии работ я разработал новый метод классификации арифметических гиперболических групп отражений. А именно, я доказал, что компактные многогранники Кокстера имеют ребро, такое, что расстояние между его обрамляющими гранями достаточно мало. Это позволяет получить полный список определенного класса арифметических групп 2-отражений.

В совместной работе с Мишей Белолипецким (IMPA, Бразилия), Сашей Колпаковым (Университет Невшателя, Швейцария) и Леоном Славичем (Павийский университет, Италия) мы получили эффективный критерий арифметичности для гиперболических многообразий и орбифолдов в терминах их полностью геодезических подпространств. Например, возьмем фундаментальный многоугольник группы отражений на плоскости. Мы можем рассматривать этот многоугольник с особенностями отражения на его сторонах как орбифолд. Тогда полностью геодезические линии в этом орбифолде будут соответствовать замкнутым бильярдам внутри этого многоугольника. Грубо говоря, наша основная теорема показывает, что соответствующее орбифолд является арифметическим тогда и только тогда, когда оно имеет бесконечно много таких полностью геодезических подпространств. Мы также показали, что в этом случае все такие подпространства имеют простое алгебраическое описание. Эта работа является результатом совместного действия алгебры, геометрии, теории чисел и топологии.

Конечно, я очень рад выиграть эту премии. В России и за рубежом много сильных молодых математиков, поэтому для меня большая честь, что моей работе уделяется такое внимание. Я надеялся (но не ожидал) получить приз. Я чувствую, что мне повезло, поэтому я должен работать с еще большей энергией, чтобы соответствовать новым целям и ожиданиям.

Кроме того, я очень рад, что увлекательная область исследований групп отражении привлекает внимание, так как я надеюсь, что эта область исследований привлечет других молодых математиков в России. Область дискертных (и гиперболических) групп была значительно развита такими выдающимися российскими и советскими математиками, как Громов, Каждан, Маргулис и Винберг, но, к сожалению, в последнее время в России осталось очень мало исследователей в этой области.

Наконец, я очень благодарен всем своим друзьям и коллегам за большой опыт совместной работы. Без их поддержки ни одно из моих нынешних достижений никогда не было бы возможным.

Влияние ваших исследований на будущее

Я надеюсь, что мои методы скоро будут использованы для классификации арифметических гиперболических групп отражений, что, по-видимому, выполнимо, по крайней мере, в пространствах Лобачевского размерности 3 или 4. Кроме того, вместе с Сашей Перепечко (ИИТП РАН и МФТИ) и Реми Боттинелли (Университет Невшателя, Швейцария) мы реализовали так называемый алгоритм Винберга, который широко используется экспертами не только в дискретных группах, но и в алгебраической геометрии. Попытки создать надежную и универсальную компьютерную реализацию алгоритма Винберга предпринимались с 1980-х годов. Пытались найти что-то, что легко применялось бы к большому разнообразию арифметических групп, чтобы не писать отдельный код для каждого конкретного случая. Мы начали наш проект в 2017 году, и сейчас он практически завершен. Это не очень "математический" результат, так как в основном он касается создания нового программного обеспечения и программирования. Тем не менее, я надеюсь, что наше программное обеспечение станет стандартным инструментом для экспертов, потому что его можно использовать в очень общих условиях.

Наконец, я ожидаю, что наш новый мощный критерий арифметичности прольет некоторый свет на дальнейшие открытые проблемы в области арифметических групп, поскольку мы создали новый метод со многими интересными последствиями.

Советы молодым ученым

Самое главное — выбрать своего научного руководителя, который будет не только сильным математиком, но и просто хорошим человеком. Кроме того, вы должны быть очень терпеливы и быть готовы к тому, что у вас не будет никакого прогресса в течение нескольких месяцев или даже года. Это часть нашей работы. Не так просто найти подходящую исследовательскую задачу для кандидатской диссертации, а тем более на более высоком этапе карьеры. В прошлом году я попытался решить около 15 задач, и только по 3 из них добился хорошего прогресса. У каждого исследователя есть период, когда ему или ей трудно двигаться вперед. Это обескураживает, но такое время можно и нужно использовать для чтения новых книг и статей, просмотра онлайн-курсов и обучения у коллег. Это важная часть профессионального роста, которая ведет к будущим достижениям и позволяет заниматься более интересной математикой.

Планы и цели на будущее

Я собираюсь работать не только над задачами, о которых уже сказал, но и постараюсь изучить и понять другие разделы чистой математики. Кроме того, мне интересно узнать больше о возможных приложениях гиперболической геометрии в реальном мире. Например, совсем недавно мы подали одну статью на высокорейтинговую конференцию по машинному обучению, где мы описываем алгоритмы поиска ближайших соседей в пространствах Лобачевского. Кроме того, я хотел бы организовать несколько научных мероприятий в России, включая конференцию и научный семинар, куда я надеюсь пригласить некоторых из самых известных ученых.

Конечно, все мои успехи и будущие устремления были бы невозможны без постоянной поддержки и любви со стороны моей семьи, за которую я бесконечно благодарен.