Victor Petrovich Havin (7.03.1933-21.09.2015)

22 December 2021, 13:51

English version/Russian version

Eugenia Malinnikova

Victor Petrovich Havin held a unique position in the St. Petersburg mathematical community for over half a century, from the 1960s until 2015. His influence on the development of complex analysis in St. Petersburg is difficult to overestimate, and the waves of this influence continue to reach various parts of the mathematical world. Havin supervised many future experts in the field, and his scientific descendants can now be found all over the world. Victor Petrovich was born in 1933, and in his own words was a product of the Soviet regime. I would rephrase that, saying that Victor Petrovich was in fact a great example of Soviet intelligentsia, reciting Pushkin and Pasternak, reading in several languages, showing up regularly at the Philharmonic Hall, humming classical opera arias, and feeling at home in Soviet Russia. I entered St. Petersburg State University in 1991, where I was a student and then a graduate student of his. By this time, it was too late to listen to Victor Petrovich singing in his full voice. Unlike some of his colleagues and friends, Victor Petrovich felt strongly that his home was in Russia, in St. Petersburg. He would travel when such possibilities eventually started to show up, but he would always come back, to St. Petersburg students, to the usual Monday evening analysis seminar meetings at LOMI on Fontanka. (LOMI is the old name for Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics of the USSR Academy of Sciences, which is now called POMI.).

I am sure that many of my classmates, who started in 1991 to study mathematics at the Department of Mathematics and Mechanics at St. Petersburg University (math-mech for short), remember the vivid lectures of Victor Petrovich. He was an inspiring speaker, not only teaching us the details of our the first rigorous course in analysis, but radiating his love and respect for the subject, a respect that was required from us as well, and we obeyed willingly. That same year, Havin organized a club for first year students, where we learnt some parts of the integration theory not covered in the regular class. I can picture it now; more than 25 years later, Victor Petrovich explaining the so-called `sun rise' lemma to us. It was beautiful and it was impossible not to be affected by his enthusiasm. The wonderful quality that Havin possessed, was the ability to appreciate beautiful mathematical ideas, old or new, ones he generated by himself as well as those that colleagues, friends or strangers generated. He would get excited about new things he learned and would share his excitement with his students. I watched and admired Victor Petrovich doing it in the 1990s as his student, as well as many times visiting St. Petersburg years later and discussing mathematics with him. During each of these visits, Victor Petrovich was eager to tell me about his current students and their new results.

Being a student of Havin was a unique experience, shared by many. For many of his graduate students Victor Petrovich would find an area he wanted to learn and he would learn this topic together with the student; in my case, it was de Rham's theory of differential forms, intriguing and very different from the main interests of his other students and members of the St. Petersburg analysis seminar in general. Learning under the supervision of Victor Petrovich was exciting: he was definitely from the school of mathematicians who would not use a theorem without understanding it thoroughly.

I believe none of his students will forget long discussions in his room on Zheleznovodskaya Street, a room full of books and memories, or the short walk from Primorskaya metro station, actually two walks, first to Victor Petrovich and the other from him. Those two were always so different. On the way there you were preparing for the talk, going through some details of the oncoming discussion in your head, while on the way back you were overwhelmed by his intellectual generosity, new ideas, and often new books or articles you had borrowed.

As a graduate student I followed Victor Petrovich to Montreal, where he spent a semester annually from the late 1990s through to the early 2000s. My six weeks at McGill university in 1997 were the best weeks of my life as a graduate student. The possibility to spend days and nights in the library, and to discuss my discoveries with Victor Petrovich, was precious. One of the topics we were interested in at that time was unique continuation for solutions of elliptic PDEs. I learned about Carleman's inequalities and read an article by Aronszajn, Krzywicki, and Szarski that was mind-blowing for me at that time. These discussions influenced my mathematical life for many years to come. In my spare time, I enjoyed walking in Montreal, having a cup of coffee (with a bagel, the type you can only find in Montreal) or attending a concert with Victor Petrovich and his wife, Valentina Afanasevna. I visited Montreal with them only once, and my next trip with Victor Petrovich was to Trondheim in Norway. A year later, after finishing my thesis, I moved there. Victor Petrovich and Valentina Afanasevna visited Trondheim several times, and their support was very valuable. In 2000 Victor Petrovich spent a semester at the Norwegian University of Science and Technology in Trondheim as the Onsager Professor.

Although Victor Petrovich always seemed to be working, I do not remember that I ever felt he did not have time to answer my questions, discuss new ideas, or just give advice when it was needed. He made his life, the life of a mathematician, look natural and rewarding, yet we know it was not simple by any means. As I advanced in my career, I came to admire Victor Petrovich more and more. We took many of his qualities for granted as students and later were surprised when we found out that not all mathematicians share them. I try to remember why his lectures were so attractive, how he managed to always have time and an interesting question for each of his students, and I try to follow his example. However, the charm and professional enthusiasm of Victor Petrovich is a very rare gift. Hopefully, Havin's students inherited some pieces of it, and his mathematical inuence will last for many generations.

 John Garnett

I met Victor in November 1971 when, after an overnight ferry ride, my wife Dolores, Lars Inge Hedberg, and I drove Lars Inge's little car from Turku to St. Petersburg (then called Leningrad). We had prearranged visas as `auto tourists' and were assigned upon arrival to spacious rooms in the elegant and nearly empty Hotel Astoria. Two days later on a Sunday, we knocked, totally unannounced, on Victor's apartment door. Great excitement ensued, followed by long animated talks of mathematics, and an impromptu dinner with Victor and his family.

A day or two later Victor took us to the Steklov Institute and we gave quickly scheduled seminars. My seminar was hilarious. On a small blackboard with small chalk pieces I began to describe in English to a small audience of Russian speakers, including Nikolski and Kruschev, an example I'd found of a plane Cantor set having positive length but zero analytic capacity. Immediately a very loud Russian argument broke out. It turned out that, unbeknownst to me or anyone else outside Russia, L. D. Ivanov had made the same example earlier. Happily, I was able to change my talk to a related topic and the seminar continued for an hour or two of a fruitful exchange of ideas and results. The next day Victor showed me Ivanov's thesis, and throughout the rest of the week we met and talked with several mathematicians, attended a colloquium by E. A. Gorin, and had some delightful meals together.

From that time on Victor and I began communicating regularly by letter. Then in the early 1980's he and E. P. Dolzhenko prepared the Russian translation of my book “Bounded Analytic Functions”, for which I am forever grateful.

I congratulate Victor for his long and illustrious career and in particular for creating the `St. Petersburg School', that consists of the very many brilliant original young analysts whom he has taught over the years and who have changed our subject in fundamental ways.

Kristian Seip

For a period of 20 years, our Department of Mathematical Sciences at NTNU in Trondheim has had strong ties with St. Petersburg or - more specifically - with the school of mathematical analysis created by Victor Havin. My count shows that 6 members of that school, including Havin himself and Eugenia Malinnikova, his student and winner of the 2017 Clay Research Award, have held positions in our department, and there have been numerous scientific exchanges involving other analysts from St. Petersburg. While our interaction has been strong, it is not in any way unique but rather a reflection in our corner of the world of Victor Havin's influence on the development of analysis during the last half century. His school became in post-Soviet times a global movement that has literally spread its many distinguished members and descendants across the globe.

In one respect, however, I may say with some pride that our relation with Victor Havin is unique, as it is linked to the legacy of our most famous alumni - the Nobel Laureate Lars Onsager. NTNU has, in what I find a most successful way, nurtured this heritage by establishing respectively the Lars Onsager Lecture and the Lars Onsager Professorship. There have been annual appointments since 1993, in the fields covered by Onsager's research, namely chemistry, physics, and mathematics. Our department and indeed the research group that I am attached to, have had the good fortune of attracting a number of outstanding mathematicians within the framework of the Lars Onsager Lecture and Lars Onsager Professorship. One of them was Victor Havin who served as Lars Onsager Professor for 6 months during the first half of 2000. Later, two of his mathematical descendants came to NTNU within the same program: Salem Prize winner Sasha Volberg was Lars Onsager Professor in 2005, and Fields Medalist Stas Smirnov was Lars Onsager Lecturer in 2013. Smirnov spoke in his lecture fittingly about the Ising model on which Lars Onsager did some of his most celebrated work. I find it quite compelling, in hindsight, to think of Smirnov's lecture as a reflection of the broader relevance of Havin's mathematical heritage, in fact establishing a substantial link to the work of Lars Onsager through one of his most preeminent students.

 Shortly after his arrival in Trondheim in 2000, Havin was presented to the members of our department at a weekly lunch meeting. I remember him standing up and delivering, in his distinctive sonorous voice, a beautiful and eloquent speech. He spoke about his background, and one could sense some of the dramatic adversities of his life, that appear almost unimaginable to most westerners that grew up after World War II. He mentioned that his father in the early 1950s had advised him not to go into a field that Comrade Stalin would pay any attention to or had an interest in. That meant staying away from lin5 guistics which Havin had seriously considered. Mathematics appeared, on the other hand, to be in accordance with his father's principle. The speech itself was convincing evidence that Havin, a most cultured man, could have excelled in a humanistic discipline, had he not followed his father's advice.

Luckily, Havin chose mathematics and became what he is famous for, the creator of a mathematical school with numerous successes and vast global impact on the development of mathematical analysis. During these months in 2000, I believe I saw some of the distinct features of his personality that must have been decisive for his success as a scientific mentor. I worked at the time on a quite involved paper with Yurii Lyubarskii about a kind of Paley-Wiener spaces that we found extended the classical theory in a natural way. Havin spent a considerable amount of time working his way through our paper, offering his comments, thoughts, and criticism. I believe this was quite typical for his engagement in the work of his protégés; he worked thoroughly and selflessly to support them and to promote their scientific development and careers.

 Havin gave a number of lectures in Trondheim. I remember them as masterful and colorful, presented in a passionate and elegant style; they radiated analytic power and a strong mathematical culture. One could easily infer that talented students must have been attracted by his lectures and personal charisma.

Even more importantly perhaps, I come to a final reflection on Havin's work as a scientific mentor. Looking around at the many successful careers of Havin's scientific descendants, I see a unique ability to find fertile soil to cultivate for his students. I can think of several examples of great work of his former students that in retrospect can be seen to have evolved from seeds carefully chosen, one might even say in a visionary way, by Havin. One should keep in mind that not only did his school spread out geographically; it and its many descendants also cover sweeping landscapes of modern analysis. I believe Havin must have felt a strong sense of duty and responsibility, surrounded by so many brilliant young people, to foster talent in the best possible way. He seems to have been just the right person to direct the “factory of young talents” that emerged around his famous research seminar in Leningrad from the early 1960s onward.

Nikolai Nikolski

Victor Havin (in Russian – Виктор Петрович Хавин) was one of the most charismatic leaders of Saint Petersburg Analysis Community during the last 50 years. Being an outstanding mathematician, he has founded a famous Analysis Seminar and modelled the face of the present-day Saint Petersburg analysis school building a true hotbed of talents that still continues to bring forth new generations of bright scholars. Here, mostly following the book “50 Years with Hardy Spaces” dedicated to Havin, I try to trace his way, to describe his profound impact on our community, and simply to sketch a few features of his unforgettable personality. Following the Russian tradition, below I often name Havin by the `name-plus-patronymic'.

Mathematics.

Being de facto a mathematical autodidact (see below), V.P. elaborated and followed his own mathematical itinerary which profoundly influenced the whole repertory of the St. Petersburg analysis school of the second half of the XX's century. Havin's impact to analysis can be roughly classified into seven large themes, listed and shortly commented below. For more details and analysis, I refer to the book mentioned above, as well as to a few remarks in what follows. However, even from this extra-short description, anyone can see how fast V.P. evolved from the so-called `soft Analysis' to `hard Analysis' (more inequalities than equalities). Here is a list of Havin's Favourite Fields.

I. Yearly Years - `Genre searching' period (about 1958-1966) dealt with

  • Separation of singularities (with a very short proof of the Poincaré Aronszajn theorem),
  • Solution of a Golubev problem (Laurent-like series outside the so-called `Havin-regular' compacts),
  • Fourier coefficients of bounded functions and weighted norms,
  • the space of Cauchy-Stiltjes integrals and their multipliers,
  • and certain other subjects.

Looking back, one can say that this initial period of Havin's mathematics represented a search for his own track in analysis. It was crowned with an influential survey on vector spaces of holomorphic functions in “Itogi Nauki” series (1966), saying `Goodbye' to `soft analysis' and marking the passage to the `hard analysis' period.

II. Rational approximation and potential theory (1967-1974). These years, V.P. worked in a close collaboration with V.G. Maz'ya. First, continuing the classical research by Mergelyan and Keldy², Havin described (1968) the subsets E ⊂ C such that L 2 -closure of functions analytic near E coincides with the set L2_a (E) of all functions analytic in the interior of E. The description was given in terms of the Cartan fine topology. An important obstacle for Lp approximation for 2 < p < ∞ was the absence of the corresponding potential theory. Together with V. Maz'ya, creating a `non-linear potential theory', V.P. solved the density problem of L^P_a (G) into L^p_a (g), where g ⊂ G, G being an arbitrary bounded domain and g its arbitrary Jordan subdomain (with certain conditions on ∂g, but all restrictions on ∂G and on ∂G∩∂g were dropped). This approach represented an absolutely new insight into the problem.

 III. Principle of `Half-Smoothness' of a holomorphic F vs |F|

This subject and the subject of part IV below, may seem to be quite particular questions, but in fact, in their time, they were challenging important problems of 20th century analysis and Havin's solutions of them were very emotionally appreciated by the community and gave rise to important activities in the eld. Namely, for this `half-smoothness' result (also called Havin-ShamoyanCarleson-Jacobs phenomenon; the second two authors did not publish their result related to ω (t) = tα, 0 < α< 1), the most general statement is Havin's (1971): if the modulus of continuity of |F| is dominated (on the boundary) by a certain function ω (δ), then F (an outer function in a domain) has modulus of continuity (again on the boundary) dominated by ω (δ½). This important property of the harmonic conjugation operator attracted a lot of attention, obtained numerous generalizations, etc.

IV. Weak Completeness of L1/H1. V.P. established the fact mentioned in the title in the short note published in 1973 (the same was proved by Mooney independently and simultaneously, but Mooney's paper appeared somewhat earlier). Though, informally, Havin perceived the result as a statement about convergence rather than a fact about Banach spaces, it immediately became popular among Banach space analysts. Moreover, Havin's techniques (its principal part, later on called `Havin's Lemma', consists in a partition of unity modelled on the χe + χ T\e= 1, but with analytic summands) were used and further developed in many other results (A. Pelczynski, J. Bourgain).

V. Approximation properties of harmonic vector fields. Following quite a widespread opinion (shared by V. Havin), the harmonic vector fields are the true several variables analogue of holomorphic functions in one variable. (A vector field v is harmonic if it is locally the gradient of a harmonic function). Harmonic vector fields are a well-known object in harmonic analysis, in particular, they play an essential role in the real approach to Hardy spaces (C. Fefferman-E. Stein). V.P. frequently stressed the importance of the trinity `uniqueness - normal families - approximation' in complex analysis and its applications to harmonic analysis. In the early 1990s he has studied those questions in the setting of harmonic vector fields. The main results were the vector 8 elds analogues of the classical Runge theorem, Hartogs-Rosenthal theorem, and Bishop's locality principle. They were published in several papers between 1991-1998 (with various co-authors - A. Presa, S. Smirnov, E. Malinnikova).

To give an impression on these innovating results, let's comment on a vector field analogue of Runge's theorem on approximation by rational functions in C≃R2. The first question was to find `elementary building blocks' that should play the role of the Cauchy kernel in higher dimensions. For such blocks (harmonic fields in Rn, n > 2, with singularities on points or curves that cannot be dissected), V.P. introduced and successfully used the so-called `Coulomb fields' of points and `Biot-Savart fields' of loops.

For a vector fields analogue of the Hartogs-Rosenthal theorem on uniform approximation of continuous function, V.P. also invented an interesting class of `invisible sets' in Rn.

VI. Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. (1980-1994, partly with V. Maz'ya, B. Jöricke, F. Nazarov, E. Malinnikova, et al.). The uncertainty principle (UP) in harmonic analysis is a classical subject inspired by ideas of Norbert Wiener in the 1920s. Originally, it says that “A function (measure, distribution) f and its Fourier transform f^ cannot be simultaneously small”. At present, the UP phenomenon is discovered in a large variety of mathematical disciplines, from the classical Heisenberg uncertainty principle to studies of bases and frames in Banach spaces, harmonic analysis on groups, and other branches. The Fourier transform in the general statement of the UP can be replaced with other transforms, and the `smallness' can be given a number of completely different mathematical meanings (smallness of support, fast decay at infinity, etc.), many of them leading to deep and important problems.

Havin's contribution in the area is broad, diverse and significant. It includes not only original results, mostly from 2000-2015, but also promoting and teaching the subject of the UP to many of his colleagues and pupils in the St. Petersburg analysis group. Due to his efforts, a lot of classical problems of the UP were studied and solved by the members of the said group and a number of outstanding talks on the UP were delivered at Havin's seminar.

V.P.'s personal impact to the UP is concentrated around the following two themes. First, he discovered an UP for convolutions with `semi-rational' symbols. In the early 1980s, Havin introduced a rather surprising for that time idea that the UP holds for many convolution operators Kf = f *k and posed the problem of describing kernels k with this property. In particular, it was proved that `semi-rational' kernels, namely kernels such that k (x) = r (x) for x > b but k (x) ≠r (x) for x < a < b, where r is a rational function on R, define `anti-local' operators. That is f|E = Kf|E = 0 implies f ≡ 0 for a collection of subsets E including all open sets. This property is already a kind of the UP. Many applications to classical operators were given (Hilbert transform, Newtonian and logarithmic potentials, uniqueness theorems for Cauchy problem, etc.).

Secondly, V.P. developed the theory of `admissible majorants' for the PaleyWiener-type spaces, this theme is commented on in the next paragraph.

The work of V.P. Havin in the area of the UP culminated with the seminal book “The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis” (Springer, 1994) written jointly with his former student B. Jöricke.

VII. Admissible Majorants for Paley-Wiener, Model and de Branges Spaces. (2003-2016, with J. Mashreghi, Yu. Lyubarsky, A. Baranov, F. Nazarov, et al.). One of the deepest parts of the UP is the famous Beurling-Malliavin theory, which produced the celebrated theorem on completeness for families of exponentials in L2(0,a). The principal ingredient of the theory is the so-called `Beurling-Malliavin multiplier theorem' (BMM). Havin proposed a completely new `real' approach to the BMM based on the newly introduced concept of `admissible majorants': w > 0 is admissible for a Paley-Wiener space if there exists f ∈ L2(a;a), f ≠ 0 such that |f (x)| ⩽ w (x). In this form, which is a kind of the UP, the BMM theorem was extended to much broader classes of spaces of analytic functions, the model spaces KΘ and de Branges spaces satisfying some natural restrictions.

Life. Havin was born on the 7 of March, 1933, in Saint Petersburg (named Leningrad from 1924 to 1991). His father was a philologist, a Slavist at the Leningrad (St. Petersburg) University; Havin's mother was a musician, a violinist of the Leningrad Philharmonic Orchestra and the Mikhailovsky (`Malyi') Opera Theater Ensemble.

Havin started his research activities already on the university bench (1950- 1955). He gave his first talk to the department analysis research seminar (under G. Fichtenholtz, L. Kantorovich, future Nobel Prize in economics, and V. Smirnov) in 1953 - in fact, it was a series of talks on the duality theory, new at this time, following P. Lévy's survey on `analytic functionals'. Later on, he was invited to repeat the talks were in the famous I. Gelfand seminar in Moscow. V.I. Smirnov,a member of the Soviet Academy, recommended him for graduate studies. At that time this was not a routine deal but, in view of the soviet state anti-semitism politics, a civic act against local activists. Anyway, Havin prepared his PhD during 1955-1958 under L. Kantorovich and, informally, V. Smirnov. It is worth noting that, in fact, Havin was a kind of an autodidact in mathematics: despite a high-level mathematical environment at St. Petersburg University (to personalities mentioned above one can add also 1 D. Faddeev, A. Markov (Junior), V. Zalgaller, I. Natanson,. .), nobody has directed young PhD student in his choice of the future research topic. V.P. remembered that Kantorovich told him that he is “busy in economics, and so... you are free to choose yourself your research direction”. This is why Havin's early research was rather dispersed and looks as `a search for a genre'.

Havin defended his Thesis in November 1959, publishing already 6 papers in refereed journals with several remarkable results including a solution to V.Golubev's problem from 1930s. Having at hand a state assignment for a teaching position at one of St. Petersburg technology institutes, V.P. was refused with unmotivated “We don't need you”, which was repeated in many other institutions. Prof. Dmitry Faddeev, the father of Ludwig Faddeev, has saved this desperate situation: he used his authority to convince the university administration to open a position for Havin. Thus started Havin's lifelong carrier at St. Petersburg University: 1959-1962 as an assistant professor, 1962-1970 as an associate (dozent), 1971-2015 as a full professor and the head of the analysis chair 1997-2004.

Havin's international contacts and collaborations started with 1965 Yerevan International Conference and H.S. Shapiro exchange visits to Leningrad around 1965-1966. Havin got his first permission to leave the country only in 1974 and only inside the `socialist camp': Cuba (1974), Czechoslovakia (1976). In fact, V.P. was able to realize many of his numerous invitations after the `Gorbachev's thaw' only:

  • 1993-2003 – ½ professor position at McGill University,
  • 1993 - Linköping (Sweden), receiving the Doctor Honoris Causa degree from Linköping University,
  • 1996 - Spenser Lecturer at Kansas State University,
  • 2000 - The Onsager Professor at Trondheim University.
  • 2005 - awarded the Robinson prize of Canadian Mathematical society.

Finally, “no prophet is accepted in his own country”, Havin got the Chebyshev Prize of the St. Petersburg Government (2011) and the Honorary Professorship at the St. Petersburg University. He also became an Honored Scientist of Russian Federation in 2003 and was awarded the Order of Friendship in 2011.

The Analysis Seminar, and Havin's pupils. V.P. gave a great significance to the maintenance of his seminar and spent a lot of time, energy and talent, without measuring, in order to keep it at the top level. The seminar very soon was transformed into a real workshop for forming high-level professionals in mathematical analysis. Numerically, the seminar grew as follows:

  • 1962 - Beginning of Havin's Analysis Seminar: 3 participants,
  • 1964 - 5 participants,
  • 1966 - 10,
  • 1970 - 25,
  • 1980-1991 - more than 50.

In fact, in the late 1980s the seminar became one of the world largest Analysis seminars, and a visitor could find every Monday in the same seminar room (room 311 at Steklov Institute, Fontanka 27) an impressive assembly: V.P. himself, S. Vinogradov, N. Nikolski, V. Vasyunin, A. Kitover, A. Plotkin, B. Jöricke, A. Aleksandrov, E. Dyn'kin, S. Hruschev, S. Kislyakov, N. Shirokov, E. Gluskin, B. Solomyak, A. Volberg, V. Peller, S. Treil, S. Shimorin, A. Kotochigov, P. Kargayev, N. Makarov, F. Nazarov, S. Smirnov, A. Poltoratskii, E. Malinnikova (ordered more or less chronologically by their appearance) and many others.

Formally, 31 Ph.D. students have defended under V.Havin's supervision, and one can count 171 of his scientific descendants (following the Math Genealogy Project as of 2021). This includes 9 Salem Prize winners: A. Aleksandrov, F. Nazarov, S. Smirnov (all three Havin's pupils), and then A. Volberg, S. Treil, N. Makarov, S. Petermichl, Z. Dapeng and D. Chelkak. The list is crowned with Stas Smirnov's Fields Medal 2010 (Havin's MSc student and his PhD great-grandson).

A few milestone results obtained and reported at the seminar can be mentioned as follows (a very incomplete list):

  • 1980: Smooth Hankel Operators (V. Peller)
  • 1980: Unconditional and Riesz bases of exponentials (S. Hruschev, N. Nikolski, B. Pavlov)
  • 1980 (and earlier): Quasi-holomorphic extensions (E. Dyn'kin)
  • 1982: Inner Functions in C n (A. Aleksandrov)
  • 1985: Law of iterated logarithms for conformal mappings (N. Makarov)
  • 1988, 2002-2014: Matrix/Operator Corona Problem, Sz.-Nagy problem, etc. (S. Treil)
  • 1980s: Uncertainty principle for convolutions (V. Havin, B. Jöricke, F. Nazarov)
  • 1996: The Bellman Function Method (F. Nazarov, S. Treil, A. Volberg)  
  • 1997-...: Calderon-Zygmund Operators on nonhomogeneous spaces (F. Nazarov, S. Treil, A. Volberg)
  • 1987-2015: Model and de Branges Spaces (A. Aleksandrov, V. Havin, J. Mashreghi, N. Makarov, A. Poltoratskii, A. Baranov)

When the soviet Iron Curtain started failing, the seminar was crowded with notable visitors and speakers. To mention just a part of them, chronologically, H. Shapiro, A. Shields, L. Carleson, Y. Domar, P. Duren, P. Koosis, P. Gauthier, J. Conway, J.M. Anderson, L. Hedberg, M. Essen, L. de Branges (1984, correcting there his solution of the Bieberbach Conjecture), Ch. Davis, L. Ehrenpreis, J.-P. Kahane, G. Pisier, D. Sarason, J. Korevaar, R. Rochberg, B. Fuglede, E. Amar, C. Berenstein,....

Havin's editorial activity. V.P. was one of the key actors for two notable Russian projects - the Springer “Encyclopaedia of Mathematical Sciences” and “Linear and Complex Analysis Problem Books” (1st edition 1974, 2nd edition 1984, 3rd edition 1994). The former one was a large ambitious project started at the Moscow Institute for Scientific and Technical Information (VINITI) under the general management of Prof. Revaz Gamkrelidze, and finished with Springer-Verlag, which published about 100 full volumes of research surveys. Havin guided (with the author of the present notice) two subseries of the Encyclopaedia, “Commutative Harmonic Analysis” (4 volumes) and “Complex Analysis” (2 volumes). He wrote the principal survey articles for the first volumes of these series - an impressive panorama of two centuries of developments in the fields. The series has had an evident success and soon became the desk books for specialists and consumers.

Havin's inspiring intellectual emanation. As a highly charismatic and rich personality, V.P. exerted a profound and large cultural influence on his entire surrounding. Classifying human activities in order 1) music, 2) mathematics, 3) writing, 4) philosophy, Havin was a deep connoisseur and a lover of the classical music, from Mozart to Shostakovich, which dominated in his emotional life.

In writing, the Russian classic Leo Tolstoy, especially his “War and Peace” which V.P. studied like a Bible. “The Kingdom of God is within you” and “Letters and Diaries” were above all but also Pushkin, Tyutchev, especially his socially resonant poems and texts, Bulgakov, and Grossman always were placed not far from his desk. Grossman's “Life and Fate” was appreciated over Pasternak's “Doctor Zhivago”. V.P. mentioned several times that he could identify himself with Viktor Shtrum, the principal hero of Grossman's novel. In poetry, I. Brodsky was regarded as the greatest Russian poet of XXth century. Being fluent in several languages, Havin read and liked to recite original versions of the German classics (Göthe, Heine,...), and also T. Mann (who was of interest for an evolution from anti-semitic to anti-nazism...), H. Ibsen (with “An Enemy of the People” - a warning expressed as early as in the XIX century against blind “crowd opinions”), L. Feuchtwanger (e.g., “Jud Süss” with its description of “court Jews phenomenon” in Germany of the 18th century, but also applicable to the USSR of the XXth), and then several J.-P. Sartre novels 13 (in French), etc.

Havin often quoted famous literary maxims and formulae in everyday speaking, for example famous “Never beg for anything, especially from those who are stronger than you” from Mikhail Bulgakov's “Master and Margarita”. The last commandment had however a few exceptions - never asking any favour for himself, V.P. showed a sharp insistence helping others. For example, in order to get a permission to recruit a new talented Jewish PhD student, or organize a PhD defence, Havin would put on his suit and a neck-tie and go to the Dean or to the ruling Communist Party Committee. He called such an action a “Walk to Canossa” (or “Humiliation of Canossa”, as Henry IV of Holy Roman Empire went to Pope Gregory VII, in 1077).

In Philosophy, Havin enjoyed L. Tolstoy's non-violence, which seemed to be the only answer to the universal and omnipotent evil of the everyday Soviet reality, but also P. Chaadaev's Russian life analysis, especially as presented in his famous “First Philosophical Letter”. In XXth century philosophy, he was somewhat enthusiastic about the Sartre existentialism, and Hannah Arendt's profound analysis of the totalitarianism phenomenon. Havin was seriously carried away by A.A. Lyubishchev's behaviourist philosophy of time-management and `work as a refuge': “Systematic work is a stretched rope holding on which you can cross the desert of life”.

by Dmitry Belyaev

English version/Russian version

 Виктор Петрович Хавин (7.03.1933-21.09.2015)  

 Евгения Малинникова

 Виктор Петрович Хавин более полувека, с 1960-х до 2015 года, занимал уникальное положение в математическом сообществе Санкт-Петербурга. Его влияние на развитие комплексного анализа в этом городе бесценно. Волны этого влияния до сих пор достигают различных берегов математического сообщества. Хавин курировал многих будущих экспертов в этой области науки, и сегодня его учеников можно найти во всех уголках мира. Виктор Петрович родился в 1933 году и, по его собственным словам, был продуктом советского времени. Я бы перефразировала это высказывание, отметив, что, на самом деле, Виктор Петрович был прекрасным примером советской интеллигенции — декламировал Пушкина и Пастернака, читал на нескольких языках, был завсегдатаем Филармонии, напевал классические оперные арии и чувствовал себя в Советской России как рыба в воде. Я поступила в Санкт-Петербургский государственный университет в 1991 году и стала его студенткой, а позже и аспиранткой. Правда, время наслаждаться пением Виктора Петровича в полный голос уже ушло. В отличие от некоторых своих коллег и друзей, Виктор Петрович был убежден, что его дом находится именно в России, в Санкт-Петербурге. Он путешествовал, когда такая возможность наконец появилась, однако, всегда возвращался к студентам в Санкт-Петербург, на регулярные вечерние семинары по анализу, которые проводились по понедельникам в ЛОМИ на Фонтанке (ЛОМИ — старое название Ленинградского отделения математического института имени В. А. Стеклова Академии наук СССР, сейчас — ПОМИ).  

Я уверена, что многие из моих однокурсников, которые в 1991 году начали изучать математику на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета (сокращенно “матмех”), помнят яркие лекции Виктора Петровича. Он был вдохновляющим оратором — обучая нас на нашем первом курсе математического анализа, он излучал любовь и уважение к предмету. Это уважение требовалось и от нас, и мы добровольно повиновались. В том же году Хавин организовал клуб для первокурсников, где мы изучали те части интегрального исчисления, которые не охватывает обычная программа. И сегодня, больше 25 лет спустя, я легко могу восстановить в памяти образ Виктора Петровича, который объясняет нам так называемую лемму о восходящем солнце. Это было настолько захватывающе, что не заразиться его энтузиазмом было невозможно. Хавин обладал замечательным качеством — способностью ценить изящные математические решения, старые и новые, которые он разработал сам, а также те, которые создали коллеги, друзья или незнакомцы. Новые вещи, которые он узнавал, захватывали его и он делился своим восторгом с учениками. Я наблюдала за Виктором Петровичем и восхищалась и во время учебы в 1990-х годах, и годы спустя, когда посещала Санкт-Петербург и обсуждала с ним математику. Во время каждого из этих визитов Виктор Петрович охотно рассказывал мне о своих нынешних студентах и делился их достижениями.         

Учеба у Хавина стала незабываемым опытом для всех нас. Для многих своих аспирантов Виктор Петрович находил интересную для изучения область и трудился над этой темой вместе со студентом. В моем случае ей стала теорема дифференциальных форм де Рама — захватывающая и сильно отличающаяся от классических интересов других студентов и участников Санкт-Петербургского семинара по математическому анализу. Обучение под руководством Виктора Петровича было незабываемым: он определенно принадлежал той школе математиков, которые не используют теорему, не поняв ее досконально.     Я считаю, что никто из его учеников не забудет долгих бесед в квартире Хавина на Железнодорожной улице, месте, полном книг и воспоминаний. Или короткую прогулку от станции метро “Приморская”, которая, на самом деле, делилась на две части — сначала до Виктора Петровича, а затем от него. Эти две прогулки всегда получались такими разными. По пути туда вы готовились к выступлению, проговаривали детали предстоящей дискуссии в голове, а на обратном пути вы были ошеломлены интеллектуальной щедростью Хавина, новыми идеями и часто — новыми книгами или статьями, которые вы позаимствовали.         

Уже будучи аспиранткой, я последовала за Виктором Петровичем в Монреаль, где он ежегодно, с конца 1990-х до начала 2000-х годов, проводил один семестр. Мои шесть недель в Университете Макгилла в 1997 году стали лучшими неделями моей аспирантской жизни. Возможность проводить дни и ночи в библиотеке и обсуждать свои открытия с Виктором Петровичем была бесценна. Одной из тем, которой мы интересовались в то время, был поиск решений эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными. Я познакомилась с неравенством Карлемана, прочла статью Ароншайна, Крживицкого и Шарски, которая в тот момент меня просто поразила. Те дискуссии продолжали влиять на мою математическую жизнь в течение многих лет. В свободное время я наслаждалась прогулками по Монреалю, чашкой кофе (с таким бейглом, какой вы можете найти только в Монреале) или посещением концерта с Виктором Петровичем и его женой, Валентиной Афанасьевной. С ними я посетила Монреаль только один раз, а моя следующая поездка с Виктором Петровичем была уже в Тронхейм, в Норвегию. Через год после того, как я закончила диссертацию, я переехала туда. Виктор Петрович и Валентина Афанасьевна посещали Тронхейм несколько раз, и их поддержка была для меня очень ценной. В 2000 году Виктор Петрович провел семестр в Норвежском университете естественных и технических наук в Тронхейме в качестве почетного профессора Ларса Онзагера.                 

 Хотя Виктор Петрович, на первый взгляд, всегда работал, я не помню, чтобы когда-либо чувствовала, что у него не хватает времени отвечать на мои вопросы, обсуждать новые идеи или просто давать советы, когда они были нужны. Он превратил свою жизнь, жизнь математика, в очень “нормальную”, приносящую радость, хотя мы знаем, что она совсем не была простой. По мере продвижения по работе, я всё больше и больше восхищалась Виктором Петровичем. Будучи студентами, мы переняли многие из его качеств как данность, а позже были удивлены, когда поняли, что не все математики такие. Я стараюсь помнить, чем его лекции были так привлекательны, как ему удавалось всегда находить время и интересную задачу для каждого из его учеников, и я стараюсь следовать его примеру. Однако, обаяние и профессиональный энтузиазм Виктора Петровича — это очень редкий дар. Будем надеяться, что ученики Хавина унаследовали некоторые его части, и его математическое влияние будет продолжаться многие поколения.     

Джон Б. Гарнетт

Я познакомился с Виктором в ноябре 1971 года. Тогда, после ночной поездки на пароме, моя жена Долорес, Ларс Инге Хедберг и я отправились на маленькой машине Ларса Инге из Турку в Санкт-Петербург (тогда Ленинград). У нас имелись заранее оформленные визы автотуристов и были забронированы просторные номера в элегантном и почти пустом отеле “Астория”. Два дня спустя, в воскресенье, мы без предупреждения постучали в дверь квартиры Виктора. За этим последовала шумная радостная встреча, за которой наш ждали долгие оживленные разговоры о математике и импровизированный ужин с Виктором и его семьей.

Через день или два Виктор отвез нас в институт Стеклова, где мы провели наспех организованные семинары. Мой семинар вышел уморительным. Рисуя мелом на маленькой доске, я начал по-английски описывать небольшой аудитории русскоговорящих, включая Никольского и Хрущева, найденный мной пример плоского канторовского множества, имеющего положительную длину, но нулевую аналитическую емкость. Тут же разгорелся очень громкий спор на русском. Оказалось, что, ни я, ни кто-либо другой за пределами России, не знал, что Л. Д. Иванов уже разбирал этот пример ранее. К счастью, мне удалось переключить свое выступление на смежную тему, семинар продолжился и в течение часа или двух мы плодотворно обменивались идеями и результатами. На следующий день Виктор показал мне диссертацию Иванова, и на протяжении всей оставшейся недели мы встречались и беседовали с математиками, посетили коллоквиум Е. А. Горина и провели несколько восхитительных совместных обедов.

С этого времени мы стали регулярно переписываться с Виктором. Затем в начале 1980-х годов он вместе с Е. П. Долженко подготовил русский перевод моей книги “Ограниченные аналитические функции”, за что я ему бесконечно благодарен.        

Я поздравляю Виктора с его долгой и блестящей карьерой и, в частности, с созданием “Санкт-Петербургской школы”, состоящей из многих талантливых молодых математиков, которых он обучал на протяжении многих лет, тех, которые изменили наш предмет фундаментальным образом.           

Кристиан Сейп

В течение 20 лет наш факультет математических наук в Норвежском университете естественных и технических наук (NTNU) в Тронхейме поддерживал тесные связи с Санкт-Петербургом. В частности, со школой математического анализа, созданной Виктором Хавиным. По моим подсчетам, шесть представителей этой школы, включая самого Хавина и Евгению Малинникову, его ученицу и лауреата премии Математического института Клэя 2017 года, занимали должности на нашем факультете. Кроме этого, было множество научных обменов с участием других математиков из Санкт-Петербурга. Хотя наше взаимодействие было очень глубоким, оно ни в коей мере не уникально. Для нашего уголка мира оно, скорее, стало отражением влияния Виктора Хавина на развитие математического анализа за последние полвека. В постсоветское время его школа превратилась в международное движение, которое рассыпало своих выдающихся участников и последователей по всему миру.           

 Правда, в одном отношении, я все же могу с некоторой гордостью сказать, что наши отношения с Виктором Хавиным были уникальны. Это связано с наследием нашего самого известного выпускника — нобелевского лауреата Ларса Онзагера. NTNU, как я считаю, наиболее успешно развивает это наследие, учредив соответственно почетную Лекцию Ларса Онзагера и почетное Профессорство Ларса Онзагера. С 1993 года проводятся ежегодные встречи и дискуссии в областях, где применяются исследования Онзагера, а именно — в химии, физике и математике. Нашему факультету и исследовательской группе, в которую я вхожу, посчастливилось привлечь ряд выдающихся математиков в рамках Лекции Ларса Онзагера и Профессорства Ларса Онзагера. Одним из них стал Виктор Хавин, который в течение 6 месяцев первой половины 2000 года был почетным профессором Ларса Онзагера. Позже два его последователя приехали в NTNU в рамках той же программы: Саша Вольберг, лауреат премии Салема, был профессором Ларса Онзагера в 2005 году, а Филдсовский лауреат Стас Смирнов — лектором Ларса Онзагера в 2013 году. В своей лекции Смирнов рассказал о модели Изинга, на основе которой Ларс Онзагер осуществил свою самую знаменитую работу. Оглядываясь назад, я думаю, что лекция Смирнова является отражением глобального влияния математического наследия Хавина. Фактически она устанавливает настоящую связь с работой Ларса Онзагера через одного из его самых выдающихся учеников. Вскоре после приезда в Тронхейм в 2000 году Хавин был представлен членам нашей кафедры на еженедельном обеденном собрании. Я помню, как он встал и произнес красноречивую речь своим неповторимым звучным голосом. Он рассказал о своей жизни так, что можно было легко прочувствовать многие драматические трудности его дней, те, которые кажутся почти невообразимыми для большинства жителей Запада, выросших после Второй мировой войны. Он упомянул, что его отец в начале 1950-х годов посоветовал ему не идти в ту область, на которую товарищ Сталин обратил бы внимание или заинтересовался бы им. Это означало держаться подальше от лингвистики, которую Хавин серьезно рассматривал. Математика, с другой стороны, соответствовала принципам его отца. Сама речь Хавина была убедительным доказательством того, что он, культурнейший человек и мог бы легко преуспеть в гуманитарной дисциплине, если бы не последовал совету отца.

К счастью, Хавин выбрал математику и стал прославленным создателем математической школы с многочисленными достижениями и глобальным влиянием на развитие математического анализа. В те месяцы 2000 года мне, кажется, удалось заметить отличительные черты его личности, которые, должно быть, и сыграли решающую роль в его успехе как научного наставника. В то время я вместе с Юрием Любарским работал над довольно интересной статьей о разновидности пространств Пэли-Винера, которая, как мы выяснили, естественным образом расширяет классическую теорию. Хавин потратил приличное количество времени, работая над нашей статьей, предлагая свои комментарии, мысли и критику. Я считаю, что это был весьма типичный пример его участия в работе своих протеже — он тщательно и беззаветно поддерживал их, содействовал научному развитию и карьере.

 Хавин также прочитал несколько лекций в Тронхейме. Я запомнил их как мастерские и яркие, увлекающие, поданные весьма элегантным способом. Они лучились мощью математического анализа и подсвечивали сильную математическую культуру. Можно было понять, что талантливых студентов, должно быть, особенно привлекали его лекции и харизма. Еще важнее, пожалуй, то, что я пришел к окончательному выводу о работе Хавина как научного наставника. Оглядываясь на многочисленные успешные карьеры учеников Хавина, я замечаю его уникальную способность находить плодородную почву для взращивания своих протеже. Я могу вспомнить несколько примеров выдающихся работ его бывших учеников, которые, если оглянуться назад, поднялись из семян, тщательно и провидчески отобранных Хавином. Следует помнить, что его школа не только выросла в географическом смысле, но она и ее многочисленные потомки захватили обширные ландшафты современного математического анализа. Я полагаю, что Хавин, окруженный таким количеством блестящих молодых людей, должен был испытывать сильное чувство долга и ответственности, чтобы способствовать развитию таланта лучшим образом. Мне кажется, он только он сумел бы создать ту фабрику молодых талантов, возникшую вокруг его знаменитого научного семинара в Ленинграде с начала 1960-х годов и далее.

Николай Никольский

Виктор Петрович Хавин был одним из самых харизматичных лидеров Санкт-Петербургского сообщества математического анализа на протяжении последних 50 лет. Будучи выдающимся математиком, он основал знаменитый научный семинар математического анализа и сформировал образ современной петербургской аналитической школы, построив настоящую фабрику талантов, которая до сих пор продолжает выпускать новые поколения ярких ученых. Здесь, в основном следуя книге “50 лет в пространствах Харди”, посвященной Хавину, я пытаюсь проследить его путь, описать его глубокое влияние на наше сообщество и просто отметить несколько черт его незабываемой личности. Следуя русской традиции, ниже я буду часто называть Хавина сокращенно по имени-отчеству (В.П.).

Математика. Будучи де-факто математическим автодидактом (см. ниже), В.П. сам разрабатывал и следовал собственному математическому маршруту, который оказал глубокое влияние на весь состав петербургской школы математического анализа второй половины XX века. Влияние Хавина на анализ можно условно разделить на семь больших тем, которые перечислены и кратко прокомментированы ниже. За более подробной информацией и анализом я отсылаю вас к упомянутой выше книге, а также к нескольким источникам, которые я укажу ниже. Однако даже из этого сверх краткого описания любой заметит, как быстро В.П. эволюционировал от так называемого “мягкого анализа” к “жесткому анализу” (больше неравенств, чем равенств). Вот список любимых тем Хавина.

I.                Ранние годы — период “Поиска жанра” (около 1958–1966), Хавин работал с:

  • разделением сингулярностей (краткое доказательство теоремы Пуанкаре-Аронсайна);
  • решением задачи Голубева (обобщенным рядом Лорана произвольной функции);
  • коэффициентами Фурье ограниченных функций и взвешенными нормами;
  • пространствами интегралов Коши-Стилтьеса и их множителями;
  • и некоторыми другим темами.


Оглядываясь назад, можно сказать, что этот начальный период математической деятельности Хавина представлял собой поиск собственного пути в анализе. Он увенчался важным исследованием о векторных пространствах голоморфных функций в серии “Итоги науки” (1966), где он попрощался с “мягким анализом” и ознаменовал переход к периоду “жесткого анализа”.

II.             Рациональная аппроксимация и теория потенциала (1967–1974). В эти годы В.П. работал в тесном сотрудничестве с В.Г. Мазья. В 1968 году, продолжая классические исследования Мергеляна и Келдыша, Хавин описал множества E⊂C, где L2 — закрытие функций, аналитических вблизи E, совпадает с множеством L2_a (E) всех функций, аналитических в окрестности E. Описание было дано в терминах топологии Картана. Важная проблема для аппроксимации Lp для 2<p<∞ была в отсутствие соответствующей теории потенциала. Создав вместе с В.Г. Мазья «нелинейную теорию потенциала», В.П. решил задачу плотности распределения L^P_a (G) в L^p_a(g), где g⊂G, G — произвольная ограниченная область, а g — ее произвольная подобласть Жордана (с определенными условиями на ∂g, но все ограничения на ∂G и ∂G∩∂g сняты). Этот подход показал совершенно новый взгляд на проблему.          

III.           Принцип «полугладкости» голоморфной функции F vs |F|. Эта тема и тема части IV ниже, могут показаться довольно специфическими, но важно то, что в свое время, они бросали вызов важным проблемам анализа 20-го века, и решения Хавина были очень высоко оценены сообществом и послужили началом важных исследования в этой области. А именно, для этого результата «полугладкости» (также называемого явлением Хавина-Шамояна-Карлесона-Джейкобса; последние два автора не опубликовали свой результат, где ω (t) = tα, 0 < α< 1), наиболее общим является утверждение Хавина (сделанное в 1971 году): если некоторая функция ω (δ) превосходит (на границе) модуль непрерывности |F| то F (внешняя функция в области) имеет модуль непрерывности (снова на границе), который превосходит ω (δ½). Это важное свойство оператора гармонического сопряжения привлекло большое внимание, получило многочисленные обобщения и т. д.        

 IV. Слабая полнота пространств L1/H1. В.П. подтвердил факт, указанный в заголовке, в короткой заметке, опубликованной в 1973 году (то же самое время независимо доказанный М. Муни, хотя статья Муни появилась несколько раньше). Хотя неофициально Хавин воспринимал результат как утверждение о полноте пространства, а не как факт о банаховых пространствах, он сразу же стал популярным среди исследователей банаховых пространств. Более того, техника Хавина (ее основная часть, позже названная «леммой Хавина», состоит в разбиении единства по образцу χe + χ T\e= 1, но с аналитическими слагаемыми) была использована и развита во многих других результатах (А. Пелчинского и Ж. Бургейна).      

V.           Аппроксимационные свойства гармонических векторных полей. Согласно довольно распространенному мнению (разделяемому В. Хавиным), гармонические векторные поля являются истинным аналогом голоморфных функций одной переменной в нескольких переменных. (Векторное поле v является гармоническим, если его потенциал — это гармоническая функция). Гармонические векторные поля являются хорошо изученным объектом в гармоническом анализе, в частности, они играют существенную роль в вещественном подходе к пространствам Харди (Ч. Фефферман-Э. Стейн). В.П. часто подчеркивал важность триады: «единственность - семейства нормальных распределений - аппроксимация» в комплексном анализе и его приложении к гармоническому анализу. В начале 1990-х годов он изучал эти вопросы в области гармонических векторных полей. Были исследованы аппроксимационные свойства гармонических векторных полей и дифференциальных форм; доказаны многомерные аналоги теорем Рунге и Гартогса–Розенталя; установлено, что в размерностях три и выше аналог принципа локальности Бишопа для равномерной рациональной аппроксимации не имеет места. Они были опубликованы в нескольких работах в 1991–1998 годах (с разными соавторами — А. Преса, С. Смирновым, Е. Малинниковой).      

Чтобы составить впечатление об этих новаторских результатах, прокомментируем векторный аналог теоремы Рунге о приближении рациональными функциями в C ≃ R2. Первая задача состояла в том, чтобы найти «элементарные строительные блоки», которые должны играть роль ядра Коши в более высоких измерениях. Для таких блоков (гармонических полей в Rn, n > 2, с сингулярностями в точках или кривых, которые нельзя расчленить) В.П. ввел и успешно использовал так называемые “Кулоновские поля” точек и поля Био-Савара.  

Для аналога теоремы Хартогса-Розенталя о равномерной аппроксимации непрерывной функции в векторных полях В.П. также придумал интересный класс “невидимых множеств” в Rn.

VI.              Принцип неопределенности в гармоническом анализе. (1980–1994, частично с В. Мазья, Б. Ерикке, Ф. Назаровым, Е. Малинниковой и др.) Принцип неопределенности (ПН) в гармоническом анализе — это классическая тема, вдохновленная идеями Норберта Винера 1920 года. Первоначально он гласит, что функция (мера, распределение) f и ее преобразование Фурье f^ не могут обе быть слишком малыми. В настоящее время явление ПН обнаруживается в большом разнообразии математических дисциплин, от классического принципа неопределенности Гейзенберга до исследований базисов и выборок в банаховых пространствах, гармонического анализа на группах и других отраслей. Преобразование Фурье на базе ПН может быть заменено другими преобразованиями, а “малости” может быть придано множество совершенно различных математических значений (малость поддержки, быстрый распад при неединственности и т. д.), многие из которых соответственно приводят к глубоким и важным задачам.

Вклад Хавина в эту область огромный, разнообразный и значимый. Он включает в себя не только полученные результаты, в основном за период 2000–2015 годов, но и продвижение, преподавание темы ПН многим его коллегам и ученикам в группе математического анализа в Санкт-Петербурге. Благодаря его усилиям многие классические проблемы ПН были изучены и решены участниками этой группы, а на семинаре Хавина был прочитан ряд выдающихся докладов по ПН. Личное влияние В.П. на ПН сосредоточено вокруг следующих двух тем. Во-первых, он открыл ПН для операторов свертки с “полурациональными” символами. В начале 1980-х годов Хавин выдвинул довольно неожиданную для того времени идею о том, что ПН выполняется для многих операторов свертки Kf = f *k, и поставил проблему описания ядер k с этим свойством. В частности, было доказано, что “полурациональные” ядра, а именно такие, что k (x) = r (x) для x > b, но k (x) ≠r (x) для x < a < b, где r - рациональная функция на R, являются “антилокальными” операторами. То есть из f|E = Kf|E = 0 следует f ≡ 0 для набора подмножеств E, включая все открытые множества. Это свойство уже является разновидностью ПН. Было дано много приложений к классическим операторам (преобразование Гильберта, ньютоновы и [2] логарифмические потенциалы, теоремы единственности для задачи Коши и т.д.).        Во-вторых, В.П. разработал теорию “допустимых мажорант” для пространств типа Палея-Винера, эта тема комментируется в следующем параграфе.  Кульминацией работы В. П. Хавина в области ПН стала фундаментальная книга “Принцип неопределенности в гармоническом анализе” (издательство Springer, 1994 год), написанная совместно с его бывшим студентом Б. Ерикке.

VII. Допустимые мажоранты для модельных подпространств, пространств Пэли-Винера и де Бранжа. (2003–2016, совместно с Д. Машреги, Ю. Любарским, А. Барановым, Ф. Назаровым и др.) Одной из самых важных частей ПН является знаменитая теория Бёрлинга-Малявина, с помощью которой была получена знаменитая теорема о полноте для семейств экспоненциалов в L2(0,a). Основным компонентом теории является так называемая теорема о множителях Бёрлинга-Малявина (МБМ). Хавин предложил совершенно новый “реальный” подход к МБМ, основанный на недавно введенном понятии “допустимых мажоранты”: w > 0 допустимо для пространства Пэли-Винера, если существует f ∈ L2(a;a), f ≠ 0 такое, что |f (x)| ⩽ w (x). В этой форме, которая является разновидностью ПН, теорема МБМ была распространена на гораздо более широкие классы пространств аналитических функций, модельные пространства KΘ и пространства де Бранжа, удовлетворяющие некоторым естественным ограничениям. [3]  

 Жизнь. Хавин родился 7 марта 1933 года в Санкт-Петербурге (с 1924 по 1991 год — Ленинград). Отец — филолог Ленинградского (Санкт-Петербургского) университета, мать — виолончелистка Ленинградского филармонического оркестра и Михайловского театра оперы и балета (“Малый оперный театр”).  

 Хавин начал свою научную деятельность еще с университетской скамьи, в 1950–1955. В 1953 он прочитал свой первый доклад на научном семинаре по анализу на кафедре (в составе Г. Фихтенгольца, Л. Канторовича, будущего лауреата Нобелевской премии по экономике, и В. Смирнова). Фактически, это была серия докладов по новой в то время теории двойственности, появившейся после исследования “аналитических функционалов” П. Леви. Позже его пригласили прочитать эти доклады снова на знаменитом семинаре И. Гельфанда в Москве. В. И. Смирнов, член Советской Академии, рекомендовал В.П. в аспирантуру. В то время это было нетривиальное дело, а, с учетом антисемитской политики советского государства — гражданское неповиновение местным активистам. Как бы то ни было, Хавин готовился к защите кандидатской диссертации в 1955–1958  гг. под руководством Л. Канторовича и, что особенно важно, В. Смирнова. Стоит отметить, что, по сути, Хавин был своеобразным автодидактом или самоучкой в математике — даже несмотря на высокий уровень математического сообщества в Санкт-Петербургском университете (к упомянутым выше личностям можно добавить также Д. Фаддеева, А. Маркова (младшего), В. Залгаллера, И. Натансона и других), никто не наставлял молодого аспиранта в выборе темы будущего исследования. В.П. вспоминал, что Канторович говорил ему, что он сейчас “очень занят экономикой, а так... ты сам волен выбирать направление исследований”. Поэтому ранние исследования Хавина были довольно разрозненными и выглядели как “поиск жанра”.

 Хавин защитил диссертацию в ноябре 1959 года. К этому моменту он уже опубликовал 6 статей в научных журналах и совершил несколько заметных достижений, включая решение задачи В. Голубева 1930-х годов. Имея на руках государственное распределение на преподавательскую должность в одном из петербургских технологических институтов, В.П. был повторно отвергнут со словами “Вы нам не нужны”, что повторилось во многих других учебных заведениях. Профессор Дмитрий Фаддеев, отец Людвига Фаддеева, исправил эту безвыходную ситуацию — он использовал свой авторитет, чтобы убедить администрацию университета открыть вакансию для Хавина. Так началась карьера Хавина в Санкт-Петербургском университете длиной в жизнь: 1959–1962 гг. в качестве помощника профессора, 1962–1970 гг. в качестве адъюнкта (доцента), 1971-2015 гг. в качестве профессора и заведующего кафедрой анализа в 1997-2004 гг. Международные контакты и сотрудничество Хавина начались в 1965 с Ереванской международной конференции и обмена визитами с Х. С. Шапиро, который приезжал в Ленинград в 1965–1966 годах. Первое разрешение покинуть страну Хавин получил только в 1974 году, и оно распространялось только внутри социалистического лагеря: Куба (1974), Чехословакия (1976). Воспользоваться остальными своими многочисленными приглашениями В.П. смог после только “оттепели Горбачева”:         

  • 1993–2003 — профессор на полставки в Университете Макгилла;
  • 1993 — Линчёпинге (Швеция), получение звания почетного доктора наук в Линчёпингском Университете;
  • 1996 — почетная лекция в Университете Канзаса;
  • 2000 — присуждение почетного звания профессора Онзагера в Университете Тронхейма;
  • 2005 — присуждение премии Робинсона от Канадского Математического сообщества.

 Наконец, “пророк” был признан и в своем отечестве — в 2011 году Хавин получил Чебышевскую премию от правительства Санкт-Петербурга, а затем звание почетного профессора Санкт-Петербургского университета. Также он стал заслуженным деятелем науки России в 2003 году, а в 2011 был награжден орденом Дружбы.
 Семинар по математическому анализу и ученики Хавина. В.П. вложил много сил в создание семинара и потратил много времени, энергии и таланта, чтобы долгие годы сохранять его на высшем уровне. Очень скоро семинар был преобразован в настоящий практикум по подготовке специалистов высокого уровня в области математического анализа. В количественном отношении состав участников семинара был таким:

  •  1962 — появление семинара по математическому анализу Хавина: 3 участника;
  • 1964–5 участников;
  • 1966 — 10;
  • 1970 — 25;
  • 1980-1991 — более 50.         

В конце 1980-х годов семинар фактически стал одним из крупнейших в мире семинаров по анализу. Каждый понедельник в одном и том же зале (311 аудитория в Институте Стеклова, Фонтанка 27) можно было встретить впечатляющее собрание: сам В.П., С. Виноградов, Н. Никольский, В. Васюнин, А. Китовер, А. Плоткин, Б. Ерикке, А. Александров, Е. Дынькин, С. Хрущев, С. Кисляков, Н. Широков, Е. Глускин, Б. Соломяк, А. Вольберг, В. Пеллер, С. Трейль, С. Шиморин, А. Коточигов, П. Каргаев, Н. Макаров, Ф. Назаров, С. Смирнов, А. Полторацкий, Е. Малинникова (в более или менее хронологическом порядке их появления) и многих других.

Формально под руководством В. Хавина защитился 31 аспирант, но, на самом деле, можно насчитать 171 его научных потомка (по данным проекта Math Genealogy на 2021 год). В их числе 9 лауреатов Салемской премии: А. Александров, Ф. Назаров, С. Смирнов (все трое — ученики Хавина), затем А. Вольберг, С. Трейль, Н. Макаров, С. Петермихль, Ч. Дапэн и Д. Челкак. Венчает список Филдсовская медаль 2010 года Стаса Смирнова (студента магистратуры Хавина и научного правнука). Ниже приводятся некоторые важные результаты, достигнутые в рамках семинара (весьма неполный перечень):

  • 1980: “Гладкие ганкелевы операторы” (В. Пеллер);
  • 1980: “Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер” (С. Хрущев, Н. Никольский, Б. Павлов);
  • 1980 (и ранее): “Гладкость квазиконформного отображения в точке” (Е. Дынькин);
  • 1982: “Внутренние функции на компактных пространствах” (А. Александров);
  • 1985: “Закон итерированных логарифмов для конформных отображений” (Н. Марков);
  • 1988, 2002–2014: “Углы между коинвариантными подпространствами и операторная проблема короны” (С. Трейль);
  • 1980-е: “​​Принцип неопределенности дня операторов, перестановочных со сдвигом” (В. Хавин, Б. Йорке, Ф. Назаров); 1996: “Метод функции Беллмана” (Ф. Назаров, С. Трейль, А. Вольберг); 1997-...: “Операторы Кальдерона-Зигмунда в неоднородных пространствах” (Ф. Назаров, С. Трейль, А. Вольберг);
  • 1987–2015: “Модельные пространства и пространства де Бранжа” (А. Александров, В. Хавин, Д. Машреги Н. Макаров, А. Полторацкий, А.Баранов).


    Когда советский “железный занавес” начал подниматься, семинар наполнился именитыми участниками и докладчиками. Упомяну лишь часть из них в хронологическом порядке: Г. Шапиро, А. Шилдс, Л. Карлесон, Е. Домар, П. Дюрен, П. Кусис, П. Готье, Дж. Конвей, Дж.М. Андерсон, Л. Хедберг, М. Эссен, Л. де Бранж (1984 г., корректировал на семинаре свое решение гипотезы Бибербаха), Ч. Дэвис, Л. Эренпрейс, Ж.-П. Кахане, Г. Пизье, Д. Сарасон, Я. Кореваар, Р. Рохберг, Б. Фугледе, Э. Амар, К. Беренштейн…

 Редакционная деятельность Хавина. В.П. был одним из главных участников двух важных российских проектов — перевод Шпрингеровской энциклопедии математики и составление сборников задач по линейному и комплексному анализу (1-е издание в 1974 году, 2-е издание в 1984 году, 3-е издание в 1994 году). Первый был грандиозным, амбициозным проектом, начатым в Московском институте научной и технической информации (ВИНИТИ) под руководством профессора Реваза Гамкрелидзе и завершенным совместно с издательством Springer-Verlag, которое опубликовало около 100 томов научных обзоров. Хавин редактировал (совместно с автором этих строк) две подсерии Энциклопедии — “Коммутативный гармонический анализ” (4 тома) и “Комплексный анализ” (2 тома). Хавин также составил вводные статьи для первых томов этих серий — впечатляющую панораму двухвекового развития этих дисциплин. Серия имела успех и вскоре стала настольной книгой для специалистов и любителей математики.

Вдохновляющее интеллектуальное влияние Хавина. Будучи очень харизматичным человеком с богатым внутренним миром, В.П. повсюду нес с собой культуру и просвещение. Он классифицировал важность деятельности человека в таком порядке: 1) музыка, 2) математика, 3) письменность, 4) философия. Хавин был изысканным эрудитом и любителем классической музыки — от Моцарта до Шостаковича; последний явно доминировал в чувственной сфере жизни.       

 В литературе он предпочитал русскую классику Льва Толстого, особенно его “Войну и мир”, которую В.П. изучал как Библию. Хотя “Царство Божие внутри вас” и “Письма и дневники” были для него превыше всего, неподалеку от его письменного стола можно было найти Пушкина, Тютчева, особенно его социально резонансные стихи и тексты, Булгакова и Гроссмана. “Жизнь и судьба” Гроссмана ценилась им больше, чем “Доктор Живаго” Пастернака. В.П. несколько раз упоминал, что отождествляет себя с Виктором Штрумом, главным героем романа Гроссмана. В поэзии И. Бродский считался Хавиным величайшим русским поэтом XX века. Владея несколькими языками, В.П. читал и любил декламировать немецких классиков в оригинале (Гете, Гейне), а также Т. Манна (который был интересен за его эволюцию от антисемитизма к антинацизму), Г. Ибсена (особенно “Враг народа”  —  предостережение о слепом мнений толпы, выпущенном еще в XIX веке), Л. Фейхтвангера (например, “Еврей Зюсс”, с его описанием феномена придворных евреев в Германии XVIII века, применимого к СССР XX века), романы Ж.-П. Сартра (на французском) и так далее.             

В повседневной речи Хавин часто цитировал известные литературные максимы и формулы. Например, знаменитое “Никогда и ничего не просите! Никогда и ничего, и в особенности у тех, кто сильнее вас” из романа Михаила Булгакова “Мастер и Маргарита”. Эта заповедь имела, впрочем, имела исключение — никогда не прося милости для себя, В.П. проявлял настойчивость, помогая другим. Например, чтобы получить разрешение на прием нового талантливого еврейского аспиранта или организовать защиту кандидатской диссертации, Хавин надевал костюм и галстук и шел к декану или в правящий комитет КПСС. Такие действия он называл “Поход в Каноссу” (или “Унижение Каноссы”, как оммаж к Генриху IV из Священной Римской империи, который шествовал к папе Григорию VII в 1077 году).   

В философии Хавину нравился подход “антинасилия” Л. Толстого, что казалось единственным ответом на универсальное и всемогущее зло повседневной советской реальности. Кроме это ему нравился анализ российской жизни П. Чаадаева, особенно хорошо представленный в его знаменитом “Первом философском письме”. В философии ХХ века он воодушевлялся экзистенциализмом Сартра и глубоким анализом феномена тоталитаризма Ханны Арендт. Хавин был серьезно увлечен поведенческой философией А. А. Любищева по управлению временем и идеей “работы как убежище”: “Регулярная работа — это натянутая веревка, на которой можно пересечь пустыню жизни”.   

Дмитрий Беляев