The Soccer Cube-Ball and the Secrets of the Train Wheelset

24 November, 18:09

Original post by InScience.News (In Russian)

English version/Russian version

In July 2022, St. Petersburg will host the International Congress of Mathematicians, the world's largest scientific event in mathematics. The Congress will bring together outstanding scientists from all over the world. As the event comes closer, mathematics attracts more and more attention. For example, Nikolai Andreev from the Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, creator of the Mathematical Etudes project, spoke on November 19 at the “Science of the Future — the Science of the Youth” forum. It was hosted by the National University of Science and Technology “MISiS” together with Sechenov University and the Immanuel Kant Baltic Federal University. Here is the review of his talk about how the subway train works, what is the secret of the beautiful music sounds, and how to convince a child to take bitter medicine.

Nikolai Andreev talked about the mathematical side of the world. He began his presentation by talking about the Brazuca soccer ball, which in terms of mathematics is a cube. The thing is that it has six identical faces and eight vertices, in each of them three faces converge. At the same time, it is closer to the sphere than the usual ball in the form of a truncated icosahedron.

Andreev also told how to calculate the distance from any point on the Earth to the horizon using the Pythagorean theorem, which everyone learned in school. This distance is the square root of the doubled product of the Earth's radius and the height of a person. Therefore, the formula looks like this:

d≈√2Rh

On average, it turns out that the horizon is about 4.5 kilometers away from any person.

Andreev also drew the audience's attention to the subway — an ordinary thing for many people. He talked about such a mathematical problem as the difference of rail radii on turns. The outer rail radius is bigger than the radius of the inner rail. “Thus, the path that the outer wheel takes is greater than the path that the inner wheel takes,” he noted. So how is this problem solved? The wheels are simply cone-shaped, and the working surface of the rail is made in the shape of an arc of a circle. Also, the rails are slightly bent inward. So that when the train turns, the wheelset simply shifts, and the wheel has a smaller diameter on the inside of the turn and a larger diameter on the outside. That's how the difference in the rail radius is compensated.

Andreev also mentioned the different uses of the cone in our everyday lives. For example, aluminium cans are glued from the two-quarters of a cone.

“Math helps avoid violence”

Giving another example, the scientist noted, “Mathematics helps avoid violence. It is one of its goals because it teaches logic”. If a child does not want to drink bitter medicine, you can pour it into a cone-shaped flask. Then you can ask a child to drink only half of it. But in fact, the child would drink ⅞ of the medicine.

The mathematician also highlighted a few everyday things that many people don't even notice: for example, how a computer determines the language of the user's writing. You can't do this alphabetically: the Bulgarian alphabet is the same as the Russian one, with only three letters missing. In fact, the difference is in the frequency of the letters. For example, the space bar and the letter “O” are the most frequent in Russian, while “Ф,” “Ъ” and “Ё” are the least frequently used. “A computer doesn't know what the next letter is you are going to enter — it's an independent sequence of characters,” he noted. Andrei Markov, a student of Chebyshev, took the first 20,000 characters from Eugene Onegin and studied the probability of meeting a vowel after a vowel or consonant. He found out that the possibility of meeting a vowel after a vowel is 12%, and after a consonant — 66%.

Andreev explained how the well-known predictive text input solution T9 works. A person can make typos in a word and it is possible to determine the distance. If there is one mistake in a word, that word is at a distance of 1 from the correct one. T9 suggests the most frequent variants that are within distance 1 from the word the user misspelled.

The mathematician also paid attention to the work of GPS navigation systems. The satellite sends a navigation message that includes coordinates of the satellite and the time of sending. From a geometric point of view, this data is a sphere. There are many satellites, and different data comes from them. Thus, we get the intersection of three spheres at two points, one of which is completely unrealistic, and the second is the location of the person. Moreover, by having four variables (coordinates and GPS receiver error) and solving a system of four equations, we can get the exact time and location.

English version/Russian version

Футбольный мяч-куб и секреты колесной пары в поездах

В июле 2022 года в Санкт-Петербурге состоится Международный конгресс математиков – крупнейшее в мире научное мероприятие в области математики, на которое съедутся выдающиеся ученые со всего в мире. По мере приближения этого события математическая наука приковывает к себе все большее внимание. Например, в рамках форума“Наука будущего – наука молодых”, который проходит на базе Национального исследовательского технологического университета “МИСиС”, Первого Московского государственного медицинского университета имени И.М. Сеченова и Балтийского федерального университета имени И. Канта, 19 ноября выступил Николай Андреев из Математического института имени Стеклова РАН, создатель проекта “Математические этюды”. Как едет поезд метро, в чем секрет красивых нот пианино, как заставить ребенка выпить невкусное лекарство – об этом репортаже InScience.News с его выступления.

Футбольный мяч – это сфера или куб?

Николай Андреев рассказал о математической составляющей нашего мира. Он начал свое выступление с рассказа о футбольном мяче “Бразука”, который с точки зрения математики является кубом. Дело в том, что у него шесть одинаковых граней, восемь вершин, в каждой из которых сходятся три грани. При этом он ближе к сфере, нежели всем привычный мяч в форме усеченного икосаэдра.

Андреев также рассказал о том, что с помощью всем известной еще со школьной скамьи теоремы Пифагора можно узнать расстояние от любой точки земли, где стоит человек, до горизонта. При расчетах можно выяснить, что это расстояние равно корню удвоенного произведения радиуса Земли и роста человека. Таким образом, эта формула будет выглядеть так:

d≈√2Rh

В среднем получится, что горизонт находится от человека на расстоянии около 4,5 километров.

Андреев обратил внимание и на метро, абсолютно обыденную для многих вещь. Он рассказал о такой математической проблеме как разница радиусов рельсов на поворотах. У внешнего рельса он будет больше, чем у внутреннего. “Соответственно путь, который проходит внешнее колесо больше, чем путь, который проходит внутреннее”, – отметил он. Как же эту проблему решают? Колеса просто делают в форме конуса, а рабочую поверхность рельса – в виде дуги окружности. Также рельсы немного заворачивают внутрь. Получается, что при повороте колесная пара просто смещается, и с внутренней стороны поворота у колеса становится меньший диаметр, а с внешней – больший. Так и компенсируется разница радиуса рельсов.

Также Андреев рассказал о разных использованиях конуса в нашей повседневной жизни. Например, в алюминиевых банках используется склейка из двух четвертинок конуса.

“Математика помогает избежать насилия”

Рассказывая еще один пример, ученый отметил: “Математика помогает избежать насилия. Это одна из ее целей, потому что она учит логике”. Если ребенок не хочет пить невкусную микстуру, ее можно налить в конусообразную химическую колбу и договориться, что он выпьет половину. Но на самом деле ребенок выпьет ⅞.

Математик также уделил внимание совсем бытовым вещам, о работе которых многие совершенно не задумываются. Например, как компьютер определяет язык, на котором пишет пользователь. По алфавиту сделать это нельзя: болгарский алфавит точно такой же как русский, только в нем отсутствуют три буквы. На самом деле это делается с помощью использования частотности букв. Например, пробел и буква “О” являются самыми частыми в русском языке, а реже всего используются “Ф”, “Ъ” и “Ё”. “Компьютер не знает, какую следующую букву вы введете, для него это – независимая последовательность символов”, – отметил он. Ученик Чебышева Андрей Марков взял первые 20 тысяч знаков из “Евгения Онегина” и начал исследовать вероятность встретить гласную после гласной или согласной. Он выяснил, что вероятность встретить гласную после гласной 12%, а после согласной – 66%.

Андреев поделился и тем, как работает всем известная программа Т9. Для опечаток, которые делает человек, можно определить расстояние. Если есть одна ошибка в слове, то это слово находится на расстоянии 1 от правильного. И Т9 подбирает наиболее частотные варианты, находящиеся на расстоянии 1 от того, что с ошибкой написал пользователь.

Математик уделил внимание и работе GPS-навигаторов. Спутник отправляет навигационное сообщение навигатору с данными о координатах спутника и временем отправки. С геометрической точки зрения эти данные представляют из себя сферу. Спутников много, и от них поступают разные данные. Соответственно, мы получаем пересечение трех сфер в двух точках, одна из которых совсем нереалистичная, а вторая – местоположение человека. Более того, имея четыре переменных (координаты и погрешность GPS-приемника) и решая систему из четырех уравнений, можно получить точное время и местоположение.