The non-parallel world of "imaginary geometry"

16 December 2021, 14:34

English version/Russian version

It's hard to believe that the son of a single mother, a poor student who got to disciplinary cell for his misdeeds always daydreaming with ridiculous fantasies would become the rector of Kazan University at the age of 34. It is even more difficult to imagine that he would challenge the scientific paradigm that has prevailed for many centuries and will not change his mind facing a barrage of criticism. But the young scientist did not just challenge the system, he won. His name was Nikolai Lobachevsky.

A rowdy with a mysterious past

The future brilliant mathematician was born on December 1, 1792 (according to the new style). Weirdly, information about the place and date of his birth as well as about his parents was contradictory until the 1940s, when Alexander Andronov and Nadezhda Privalova and their students researched into the early period of the mathematician's biography and clarified it. According to generally accepted historical information, Nikolai was born in Nizhny Novgorod to Ivan Lobachevsky and his wife Praskovya. However, some archives indicate that Nikolai and his two brothers Alexander and Alexey were the illegitimate sons of Praskovya, and their father was Captain Sergei Shebarshin who worked as a surveyor and designed the cities and roads of the Nizhny Novgorod province. Anyway, a few years after the birth of his sons, Ivan Lobachevsky died of an illness leaving his wife with little children practically with hardly any means for living.

When Nikolai was seven years old, the family moved to Kazan. There, he and his brothers entered the only gymnasium in this part of the Russian Empire with state provision. Young Lobachevsky was good at foreign languages. A talented teacher Grigory Kartashevsky inspired the young boy“s interest in mathematics. He later became a trustee of the Belarusian Educational District, and later a senator. Like several other teachers of the gymnasium, Kartashevsky also gave lectures at Kazan University. The university board addressed the parents of the most talented children and insisted that they continue their education. Nikolai entered Kazan University in 1807 although not on the first try. At this time, professors of physics and mathematics left the university due to a conflict with administration, and students had to teach classes themselves. The situation changed only in 1808, when the trustee of the Kazan Educational District, Stepan Rumovsky invited Martin Bartels (the tutor of Carl Friedrich Gauss), Kaspar Renner, and other prominent German researchers.

At the age of 19, Nikolai Lobachevsky received a master's degree in physics and mathematics and got a job at the university. This was not stopped by his ‘dreamy arrogance, persistence, disobedience.’ The descendants of the mathematician still tell the stories about his rowdy tricks. Like one day he appeared in the academic building riding a pig right in front of the rector (others claim that he rode a cow though). Nikolai and his friends were repeatedly punished and even put in a disciplinary cell for their experiments on launching a rocket in the university attic. He was close to expulsion several times that would be followed by conscription. But his scientific abilities took over.

However, he was interested not only in pranks. Since early childhood future mathematician greedily read Gogol and Pushkin and adored gardening (so much in fact that he later invented several agricultural technologies and received awards for it). He especially loved cedars, but after planting them at home he died several months before he could see the first cones.

The End of Euclidean ‘Elements’

But the scientific work of Nikolai Lobachevsky began to pay off quite quickly (although it was a bumpy ride). At 24 he became a professor, three years later he headed the faculty, and already in 1827, he was appointed rector (the predecessor was removed for abuse). The young scientist taught a lot, published articles, and wrote two textbooks on algebra and geometry. However, he managed to publish the first one only ten years later, and the second one was criticized for the metric system and deviations from Euclidean geometry, so it was not printed before his death. Academician Pavel Fuss mockingly commented on his ideas: ‘it is known that this division was invented during the French Revolution when the frenzy of the nation to destroy everything spread even to the calendar and the division of the circle.’

Why was Lobachevsky not satisfied with the foundations of geometry, which remained unshakable for almost two thousand years? The first four postulates (or axioms, the author of the ‘Elements’ did not indicate the difference between these concepts) of Euclid were simple and understandable. However, the fifth was from some other space, its own flat world, fantastic like Terry Pratchett's world. This postulate sounds like this: ‘If a line segment intersects two straight lines forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two lines, if extended indefinitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right angles. Translating to modern language that is the parallel postulate: if two straight lines intersect with a third and the intersection turns out to have angles not equal to 90 °, then sooner or later these lines will intersect. Countless mathematicians from all over the world have tried to prove this statement for centuries, from Ptolemy and Nasir al-Din at-Tusi to Christopher Clavius and Adrien-Marie Legendre.

Some scientists, for example, the German physicist and astronomer Johann Lambert were looking for a way to prove the postulate by contradiction but could not find it. Lobachevsky went a similar way. He did not like the separation of such a rule from the real world. The mathematician knew about real-world geometry thanks to his work in the construction commission at Kazan University. The scientist decided to keep the four clear and consistent postulates and attached to them the complete opposite of the fifth to build a new version of geometry. He first presented it in 1826 in the report ’ A Concise Outline of the Foundations of Geometry ”. But this report failed; after the recent layoff of a corrupted trustee, the young mathematician's thoughts were least of the concerns for his colleagues. The fact that this mathematician soon headed the university did not change the attitude to his theory.

The new rector had to manage the construction of buildings and laboratories, the library, and scientific collections. Nikolai was immersed in research and endless administrative duties and could only find a few hours to sleep, so he managed to get married thanks to luck. The wife of the scientist was Varvara Moiseeva from an old Chernihiv family. They met at a ball where Lobachevsky first liked the girl's governess, and they never shared a dance. But Varvara was fascinated by the scientist's talents. She listened to his poems and attended his lectures. The girl helped him fight the cholera epidemic in Kazan, and the mathematician noticed her intelligence and appreciated this support. Soon they got married. Lobachevsky soon sold the diamond ring presented to him by Nicholas I for fighting against infection in the city and invested the money in sheep breeding on his estate.

Despite the growing weight of responsibilities, the scientist developed and deepened his theory. “In nature, we know, in fact, only movement. Sensory impressions are impossible without it”, he reasoned in his diary. “So all other concepts, for example, Geometric are artificially produced by our mind, being taken in the properties of motion; and therefore space itself does not exist for us. After that, there can be no contradiction in our mind when we assume that some forces in nature follow their geometry, others stick to their own special geometry.” He formulated his ideas in the work “On the principles of Geometry”, which he published in the Kazan Bulletin for 1829-1830.

From love to hate (and back)

“This work contains the foundations of the geometry that would have to take place and, moreover, would be a strict and consistent unit if Euclidean geometry were not true… Lobachevsky calls it imaginary geometry; you know that for 54 years (since 1792) I have shared the same views with some development of them, which I do not want to mention here; thus, I have not found anything actually new for myself in Lobachevsky's work. But the author did not follow the path that I myself followed in the development of the subject; it was executed by Lobachevsky masterfully in a truly geometric spirit. I consider myself obliged to draw your attention to this essay, which will probably give you absolutely exceptional pleasure,” the “king of mathematicians” Carl Gauss commented on the work of the Russian scientist in a letter to astronomer Heinrich Schumacher. The German genius was genuinely upset that Lobachevsky's works were not in the translation process, and soon learned Russian in order to read them in original. He also recommended that Lobachevsky be elected a foreign member of the Göttingen Academy of Sciences and Humanities as “one of the most excellent mathematicians of Russia.” Several European mathematicians, who have long doubted the universality of the fifth postulate highly appreciated the research of a colleague.

But Lobachevsky was not recognized in his homeland. The study that he sent to the Academy of Sciences was reviewed by mathematician and mechanic Mikhail Ostrogradsky. He sarcastically mentioned that he did not understand anything in this text except for two integrals, one of which was calculated with errors, and “most of the book remained as unknown” to him. Even though it was Ostrogradsky's calculations that turned out to be incorrect this statement was followed by real bullying, often anonymous and unprofessional. Even the “Son of the Fatherland” broke out with a caustic feuilleton about Lobachevsky's “ridiculous fantasies”. In the end, the scientist was removed from the position of rector and suspended from the professorship despite numerous awards, administrative merits, and outstanding research on other topics in algebra, physics, astronomy, and agriculture.

Although the scientist himself called non-Euclidean geometry imaginary in the headlines of articles in French scientific journals, he took it very seriously. Constant stress due to attacks on his work undermined his health. He began to smoke a lot, lost his eyesight, outlived one of his sons, sold his house and his wife's estate, and died in ruin in 1856. Just 10-12 years later, a turning point occurred in geometry. In the models and figures created by mathematicians of the next generation, Lobachevsky's geometry (or hyperbolic geometry) was in no way inferior to Euclid's version. It consistently described straight lines on concave surfaces. Today, Lobachevsky's formulas are used in the construction of particle accelerators and describe the structure of many living objects. Coordinates in satellite navigation systems would give an error of several kilometers per day without taking into account non-Euclidean geometry. But the main breakthrough was the proof that geometry can be different. Later, both spherical and Riemannian geometry appeared and the General Theory of Relativity forever changed our ideas about time and space in the universe. But this is a completely different story.

by Ekaterina Mishchenko

English version/Russian version

Непараллельный мир “воображаемой геометрии”

Трудно поверить, что сын матери-одиночки, бедный студент, сидевший в карцере за свои проступки, вечно витающий в нелепых фантазиях, в 34 года станет ректором Казанского университета. Еще сложнее представить, что он бросит вызов господствующей на протяжении многих веков научной системе и не изменит мнения под шквалом критики. Но молодой ученый не просто бросил вызов — он победил. Звали его Николай Лобачевский.

Хулиган с таинственным прошлым

Будущий гениальный математик появился на свет 1 декабря 1792 года (по новому стилю). Парадоксально, но информация о его месте и дате рождения, а также о его родителях была противоречивой до 1940-х годов, когда исследования Александра Андронова и Надежды Приваловой и их учеников привели знания о раннем периоде биографии математика к общему знаменателю. По общепризнанным историческим сведениям, родился Николай в Нижнем Новгороде, в семье Ивана Максимовича и его жены Прасковьи Александровны Лобачевских. Однако некоторые архивные источники указывают, что Николай и его два брата, Александр и Алексей, были внебрачными сыновьями Прасковьи, а их отцом называют капитана Сергея Шебаршина, который работал землемером и проектировал города и дороги Нижегородской губернии. Как бы то ни было, через несколько лет после рождения сыновей Иван Лобачевский умер от болезни, оставив жену с маленькими детьми практически без средств к существованию.

Когда Николаю было семь лет, семья переехала в Казань. Там его с братьями отдали “на казенное разночинское содержание” в единственную гимназию в этой части Российской империи. Юному Лобачевскому легко давались иностранные языки. Интерес мальчика к математике пробудил талантливый педагог Григорий Карташевский, который потом стал попечителем Белорусского учебного округа, а позднее — сенатором. Как и несколько других преподавателей гимназии, Карташевский вел и занятия в Казанском университете. Совет университета обратился родителям самых способных детей и настоял на том, чтобы они продолжили образование. Николай поступил в Казанский университет в 1807 году, хоть и не с первого раза. В этот период преподаватели физики и математики начали покидать вуз из-за конфликта с руководством, и занятия пришлось вести студентам. Картина изменилась только в 1808 году, когда попечитель Казанского образовательного округа Степан Румовский начал приглашать в учебное заведение Мартина Бартельса (учителя гения Карла Гаусса), Каспара Реннера и других видных немецких исследователей.

В 19 лет Николай Лобачевский получил степень магистра по физике и математике и остался работать при университете. Этому не помешали его “мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение”. Потомки математика до сих пор пересказывают истории про его хулиганские проделки: по их словам, однажды он прямо перед ректором проехал по учебному корпусу на свинье (другие уверяют, что все-таки на корове). За эксперименты по запуску ракеты во дворе университета Николая и его товарищей не раз наказывали и даже сажали в карцер. Студенту несколько раз грозило отчисление, после которого по императорскому указу отправляли в армию. Но его способности к науке взяли верх.

Однако интересовали его не только шалости: с детства будущий математик увлеченно читал Гоголя и Пушкина, а также обожал ухаживать за растениями в саду (настолько, что позже не раз изобретал сельскохозяйственные технологии и получал за это награды). Особенно он любил кедры, но, посадив их у себя, несколько месяцев не дожил до появления первых шишек.

Конец евклидовых “Начал”

А вот научные работы Николая Лобачевского стали приносить плоды довольно быстро (хотя и шишек на этом пути он набил немало). В 24 он стал профессором, через три года руководил факультетом, а уже в 1827 году был назначен ректором (предшественника сместили за злоупотребления). Молодой ученый активно преподавал, публиковал статьи и написал два учебника — по алгебре и геометрии. Правда, издать первый удалось лишь через десять лет, а второй осудили за метрическую систему мер и отступления от геометрии Евклида, так что при жизни ученого он не был напечатан. “Известно, что сие разделение выдумано было во время Французской революции, когда бешенство нации уничтожить прежде бывшее распространилось даже до календаря и деления круга”, — издевательски комментировал его идеи рецензент, академик Павел Фусс.

Чем же Лобачевского не устраивали основы геометрии, которые оставались непоколебимыми почти две тысячи лет? Первые четыре постулата (или аксиомы — автор “Начал” так и не указал, чем отличаются эти понятия) Евклида были просты и понятны. Однако пятый жил в каком-то независимом пространстве, собственном плоском мире, фантастическом, как одноименная вселенная Терри Пратчетта. Звучит этот постулат так: “Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых”. В “переводе” на современный язык это аксиома параллельности — если две прямые пересечь третьей и в пересечении получатся углы не по 90°, значит рано или поздно эти прямые пересекутся. Доказать это утверждение на протяжении веков пытались бесчисленные математики со всего света — от Птолемея и Насир ад-Дина ат-Туси до Христофора Клавиуса и Адриена Мари Лежандра.

Некоторые ученые, например, немецкий физик и астроном Иоганн Ламберт, искали путь к подтверждению постулата, двигаясь от противного, но не могли найти противоречий. Похожим путем пошел и Лобачевский, которому не нравилась независимость такого правила от законов реального мира. О геометрии последнего математик знал не понаслышке благодаря работе в строительной комиссии при Казанском университете. Ученый решил оставить четыре стройных и непротиворечивых постулата, присоединил к ним полную противоположность пятого и построил на основе этого новую версию геометрии. Впервые он представил ее в 1826 году в докладе “Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”. Но доклад этот провалился — после недавнего смещения проворовавшегося попечителя размышления молодого математика меньше всего волновали его коллег. То, что этот математик вскоре возглавил университет, не изменило отношения к его теории.

Новому ректору приходилось следить за строительством корпусов и лабораторий, заведовать библиотекой и научными коллекциями. Николай был погружен в научные труды и бесконечные административные обязанности и мог выкроить на сон всего несколько часов, поэтому жениться успел благодаря чистому везению. Супругой ученого стала Варвара Моисеева, которая происходила из старинного черниговского рода. Они познакомились на балу, где Лобачевскому сначала понравилось гувернантка девушки, и ни разу не станцевали вместе. Но Варвара была очарована талантами ученого. Она слушала его стихи и посещала его лекции. Девушка помогала ему бороться с эпидемией холеры в Казани, и математик заметил ее ум и оценил эту поддержку. Вскоре они поженились. Бриллиантовый перстень, который Николай I лично подарил Лобачевскому за организацию борьбы с инфекцией в городе, ученый вскоре продал, а деньги вложил в разведение овец в своем имении.

Несмотря на растущий вал обязанностей, ученый развивал и углублял свою теорию. “В природе мы познаем, собственно, только движение, без которого чувственные впечатления невозможны, — рассуждал он в своем дневнике. — Итак, все прочие понятия, например Геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие — своей особой Геометрии”. Свои идеи он оформил в труде “О началах геометрии”, который опубликовал в “Казанском вестнике” за 1829–1830  годы.

От любви до ненависти (и обратно)

“Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее воображаемой геометрией; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашел для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шел я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение”, — так отзывался о работе русского ученого “король математиков” Карл Гаусс в письме астроному Генриху Шумахеру. Немецкий гений искренне расстраивался, что труды Лобачевского не торопятся переводить, и вскоре выучил русский язык, чтобы ознакомиться с ними в оригинале. Он же рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом Геттингенского королевского научного общества как “одного из превосходнейших математиков русского государства”. Несколько европейских математиков, давно сомневавшихся в универсальности пятого постулата, высоко оценили исследования коллеги.

Но пророком в своем отечестве Лобачевский, как водится, не стал. Работа, которую он отправил в Академию наук, попала на рецензию математику и механику Михаилу Остроградскому. Академик съязвил, что не понимает в этом тексте ничего, кроме двух интегралов, один из которых вычислен с ошибками, а “большая часть книги осталась столь же неизвестной” для него, чем до прочтения. Несмотря на то, что неверны оказались расчеты самого Остроградского, за этим заявлением последовала настоящая травля, часто анонимная и непрофессиональная. О “нелепых фантазиях” Лобачевского разразился едким фельетоном даже “Сын Отечества”. В конце концов ученого сняли с должности ректора и отстранили от профессорской кафедры — несмотря на многочисленные награды, административные заслуги и выдающиеся исследования на другие темы в алгебре, физике, астрономии и сельском хозяйстве.

Хотя сам ученый в заголовках статей во французских научных журналах называл неевклидову геометрию воображаемой, относился он к ней очень серьезно. Постоянные волнения из-за нападок на его работы подорвали здоровье математика. Он стал много курить, потерял зрение, похоронил одного из сыновей, продал свой дом и имение жены и умер в разорении в 1856 году. Всего через 10–12  лет в геометрии произошел перелом. В моделях и фигурах, созданных математиками следующего поколения, геометрия Лобачевского (она же гиперболическая геометрия) ничем не уступала версии Евклида. Так, она непротиворечиво описывала прямые на вогнутых (по-научному — обладающих отрицательной кривизной) поверхностях. Сегодня формулы Лобачевского применяются при строительстве ускорителей частиц и описывают строение многих живых объектов. Координаты в спутниковых навигационных системах без учета неевклидовой геометрии за сутки расходились бы с реальностью на несколько километров. Но главным прорывом стало доказательство, что геометрия может быть другой. Позже появится и сферическая, и римановская геометрия, а Общая теория относительности навсегда изменит наши представления о времени и пространстве во Вселенной. Но это уже совсем другая история.