Millennium Prize Problems: the Poincaré conjecture

17 November, 16:12

English version/Russian version 

Millennium Prize Problems are seven mathematical problems stated by the Clay Mathematical Institute. An award for the solution of each of these problems is one million dollars. To date, only one out of seven problems is solved: the Poincaré conjecture. The outstanding Russian mathematician Grigori Perelman managed to solve it.

“Madam, your son will be a mathematician!”

The brilliant French scientist Jules Henri Poincaré was born on April 29, 1854, in the city of Nancy. Poincaré made an enormous contribution to many branches of mathematics, physics, and mechanics. He developed qualitative methods of the theory of differential equations and topology, and even the foundations of the theory of motion stability before Einstein formulated the main provisions of the special theory of relativity. Poincaré has even started a new philosophical direction,  conventionalism.

As a child, Poincaré received home education from a family friend  Alphonse Ginzelin, an erudite and well-educated teacher. The boy suffered from diphtheria, because of it he was paralyzed and numb for a long time. Later, he had a very vivid perception of sounds for a lifetime – he associated each vowel sound with color (this phenomenon is called synesthesia).

At the age of eight, the boy entered the ninth grade of the lyceum (the counting of the grades went in the reverse order, starting with the tenth, and the first was graduation). Poincaré was a diligent and inquisitive student, the teachers loved him. Once one of the teachers came to Poincaré's house and told his mother: “Madame, your son will be a mathematician!”. Seeing no sign of surprise on her face, the teacher specified: “I mean, he will be a great mathematician!”

However, Poincaré selected the literature department. This was probably due to parents who believed that their son should study humanities. At the age of 16, the young scientist helped his father, who served as a doctor during the harsh days of the summer of 1870, when France began a war with Prussia.

In 1871, Poincaré passed the exams for the Bachelor of Arts in Literature with a grade of “good”. He showed excellent results, and the teachers hoped to get an incredible thinker if he went to the Faculty of Philology. However, a few days later Poincaré stated his willingness to take the exam for a Bachelor of Science degree as well. This written exam was unsuccessful: firstly, Poincaré was late for it. Secondly, he did not understand the assignment and answered the wrong question. The result was an unsatisfactory grade. However, at the university where the exam was held, the outstanding abilities of the young mathematician were known, and a decent mark on the oral exam was able to compensate for the first failure.

In 1873, the mathematician entered the École Polytechnique, which prepared applicants for the highest technical positions in the government and in the army. After that, he entered the Paris School of Mines (École Nationale supérieure des mines de Paris), a prestigious educational institution. There, in his second year, he started to conduct scientific research.

After graduating in 1789, Poincaré became a mining engineer, yet for only some six months. Then he left for teaching. In 1881, his note on automorphic function appeared in a recognized scientific journal. Thanks to this work, he became famous in scientific circles, and soon he was invited to work as a teacher at the University of Paris. Around the same time, Poincaré created a new branch of mathematics, the qualitative theory of differential equations.

Since the fall of 1886, Poincaré headed the Department of Mathematical Physics and Probability Theory of the University of Paris, and in January 1887 he became a member of the French Academy of Sciences.

Balloons and bagels

In 1904, Poincaré formulated a hypothesis that for about a century was one of the most difficult problems in mathematics. It says: “Every simply connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.” What does this mean?

Let's take a balloon as the simplest example. It can be deformed in various ways, but it is impossible to make a donut-shaped figure (in topology this is called a torus) out of a ballon without cutting it. You won't be able to turn a donut into a ball either – the hole in the middle ruins your plan. According to their topological properties, these two figures are incompatible, that is, they are not homeomorphic. The fact is that the donut is not simply connected, which means that it has a hole through which you can pull a thread, and the donut will hang on it. Altogether, the ball is simply connected, it does not have such a hole - and this is a fundamental difference between objects. In this case, the ball can be deformed as you like (without cuts and gluing), and then again return to its original shape. This is Poincaré's hypothesis – any simply connected closed object can be “transformed” into a sphere.

With two-dimensional surfaces, everything was clear already in the 19th century, and the hypothesis extended this pattern to multidimensional cases. It was the three-dimensional “balls” and “donuts” that turned out to be the most difficult. In 1960, the conjecture was proved for five (and more) dimensional manifolds, and in 1982 – for four-dimensional.

The proof

Poincaré's conjecture for three-dimensional manifolds has become one of the most difficult mathematical (namely, topological) problems for about a hundred years. Grigori Perelman, a Russian mathematician from Saint Peterburg, was able to solve it.

Grigori Perelman published the proof of Poincaré's conjecture in 2002–2003, presenting it in three articles. According to him, the “hint” for solving this problem was given to him by the professor of mathematics at Columbia University, Richard Hamilton, whose lecture Perelman was taking. For solving one of the seven most important mathematical problems of the millennium, Perelman was offered a prize of a million dollars, but the mathematician declined it. In 2010, he did not attend the mathematics conference in Paris, where the award was to be presented, commenting on it: “I refused. You know, I had a lot of pros and cons to consider. That's why it took so long to decide. In a nutshell, the main reason is the disagreement with the organized mathematical community. I do not like their decisions; I consider some of them unfair. I believe that the contribution of the American mathematician Hamilton to the solution of this problem is no less than mine. ‘

English version/Russian version 

Задачи тысячелетия: гипотеза Пуанкаре

Задачи тысячелетия – это семь математических проблем, которые определил Математический институт Клэя. За решение каждой из этих задач ученому выплачивается вознаграждение в размере одного миллиона долларов. На сегодняшний день из семи задач решена только одна: гипотеза Пуанкаре (теперь она называется теорема Пуанкаре-Перельмана). Решить ее смог выдающийся российский математик – Григорий Перельман.

’Мадам, ваш сын будет математиком!”

Гениальный французский ученый Жюль Анри Пуанкаре родился 29 апреля 1854 года в городе Нанси. Пуанкаре внес огромный вклад во многие разделы математики, физики и механики. Он разработал качественные методы теории дифференциальных уравнений и топологии, а также основы теории устойчивости движения, еще до Эйнштейна сформулировал основные положения специальной теории относительности. Даже в философии ученый смог создать новое направление – конвенционализм.

Пуанкаре получил домашнее образование, которое ему дал друг семьи Альфонс Гинцелин – эрудированный и широко образованный преподаватель. На домашнее обучение мальчика перевели из-за последствий перенесенной дифтерии — на протяжении долгого времени Пуанкаре оставался не только прикованным к кровати, но и немым (из-за паралича). Впоследствии у ученого на всю жизнь останется очень яркое восприятие звуков – каждый гласный звук у него ассоциировался с каким-либо цветом (это явление называется синестезия).

В восемь лет мальчик поступил в девятый класс лицея (отсчет классов шел в обратном порядке, десятый был начальным, а первый – выпускным). Ученик был прилежным и любознательным, преподаватели его любили. Однажды в дом Пуанкаре пришел один из преподавателей и заявил матери: “Мадам, ваш сын будет математиком!”. Не увидев на ее лице никакого удивления, преподаватель поправил: “Я хочу сказать, он будет великим математиком!”.

Однако Пуанкаре перешел на словесное отделение. Вероятно, это произошло из-за родителей, которые считали, что их сын должен получить гуманитарное образование. В 16 лет юный ученый помогал своему отцу-врачу в суровые дни лета 1870 года, когда Франция начала войну с Пруссией.

В 1871 году Пуанкаре сдал экзамены на бакалавра словесности с оценкой “хорошо”. Он показывал прекрасные результаты, и преподаватели надеялись получить невероятного мыслителя, если бы он пошел на филологический факультет. Однако Пуанкаре спустя несколько дней изъявил желание сдать экзамен на степень бакалавра наук. Этот письменный экзамен прошел неудачно: во-первых, Пуанкаре на него опоздал. Во-вторых, он плохо задание, и дал ответ не на тот вопрос, — итогом стала неудовлетворительная оценка. Однако в университете, где проходил экзамен, знали о выдающихся способностях юного математика, и достойная отметка на устном экзамене смогла компенсировать первую неудачу.

В 1873 году математик поступил в Политехническую школу, которая готовила претендентов на высшие технические должности в государственном аппарате и в армии. После нее он поступил в Горную школу – престижное учебное заведение. Там, на втором курсе, он начинает проводить научные исследования.

После выпуска в 1789 году Пуанкаре стал горным инженером, проработав всего около полугода. Затем он ушел преподавать. В 1881 году в авторитетном научном журнале появилась его заметка о фуксовых функциях. Благодаря ей он становится очень известен в научных кругах, и вскоре его приглашают работать в Парижский университет преподавателем. Примерно в это же время Пуанкаре создал новый раздел математики: качественные методы теории дифференциальных уравнений.

Осенью 1886 года Пуанкаре стал заведующим кафедры математической физики и теории вероятностей Парижского университета, а в январе 1887 года стал членом Академии наук Франции.

Нитки в шариках и бубликах

В 1904 году Пуанкаре сформулировал гипотезу, которая около века была одной из самых сложных математических задач. Звучит она так: “Всякое односвязное компактное n-мерное многообразие без края гомеоморфно n-мерной сфере”. Что же это значит?

В качестве простейшего примера возьмем воздушный шарик без дырки. Его можно по-разному деформировать, однако из шарика невозможно сделать фигуру в форме пончика (в топологии это называется тор), не разрезав его. Превратить резиновый пончик в шарик тоже не получится – дырка в середине все портит. По своим топологическим свойствам эти две фигуры несовместимы, то есть негомеоморфны. Дело в том, что пончик неодносвязан – это означает, что у него есть отверстие, через которое можно протянуть нитку, и пончик повиснет на ней. А вот шарик односвязан, у него нет такой дырки, – и это фундаментальная разница между объектами. При этом шарик можно деформировать как угодно (стягивать, скручивать — без разрезов и склеек), а потом снова вернуть к исходной форме. В этом и заключается гипотеза Пуанкаре — любой односвязный объект можно “превратить” в cферу.

С двухмерными поверхностями все было понятно уже в XIX веке, а гипотеза расширила эту закономерность на многомерные случаи. Именно трехмерные “шарики” и “пончики” оказались самыми сложными. В 1960 году гипотезу доказали для пятимерных (и более) многообразий, а в 1982 – для четырехмерных.

Доказательство

Гипотеза Пуанкаре для трехмерных многообразий стала одной из самых сложных математических (а именно – топологических) задач на протяжении около ста лет. Решить ее смог Григорий Перельман – российский математик из Ленинграда.

Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре в 2002–2003 годах, изложив его в трех статьях. По его словам, “подсказку” для решения этой задачки ему дал профессор математики из Колумбийского университета Ричард Гамильтон, на лекции которого присутствовал Перельман. За решение одной из семи важнейших математических проблем тысячелетия Перельману была предложена премия в размере миллиона долларов, однако математик отказался от нее. В 2010 году он не приехал на математическую конференцию в Париже, где должна была вручаться награда, прокомментировав это так: “Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой”.