"Math education makes people think differently"

30 November 2021, 13:03

Original post by Kommersant (in Russian)

English version/Russian version

Why can mathematicians, unlike biologists and physicists, still understand each other? What fields of science look the most promising today, and why would the great physicists of the early 20th century have failed to make their discoveries if they had been born a hundred years later? Mathematician Fedor Bogomolov, a member of the ICM-2022 organizing committee, comments

BACKGROUND: Fedor Alekseevich Bogomolov is one of the most famous Russian-American mathematicians, a professor at New York University's Courant Institute, and a doctor of physics and mathematics. In 1970, he graduated from the Faculty of Mechanics and Mathematics at Moscow State University.  His first scholarly paper was about topology. In the early 1970s, he began research in algebraic geometry. After defending his dissertation, he joined the algebra department at the Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences. He emigrated to the United States in 1994. In the 2000s, he became the foremost world-renowned figure in algebraic and arithmetic geometry. His work underlies modern algebraic geometry and its intersections with theoretical physics (string theory). The Bogomolov decomposition theorem and the Bogomolov–Beauville–Fujiki form are named after him. Since 2010, he has been the research director of the Laboratory of Algebraic Geometry and its Applications at the Higher School of Economics in Moscow. He is also editor-in-chief of the European Journal of Mathematics and has written more than a hundred papers on mathematics.

—    Fedor Alekseyevich, the International Congress of Mathematicians draws quite a lot of attention, much more than other scientific conferences. What makes it so fundamentally different?

Mathematics remains one of the few areas of classical science where it is still possible to have a congress that covers all major branches. It just so happens that mathematicians still remain the kind of scientists that can understand each other despite working in different fields. It is the result of efforts on the part of several generations of scientists, who built a certain share foundation, a shared vocabulary. That is, in addition to solving certain problems and advancing science, those mathematicians did the rather thankless work of simplifying the insights of their predecessors. Of course, there is a process of erosion in mathematics as well, but the universal core still remains. In other sciences, where people concentrate on their own research, this common understanding has already been lost. It is unlikely that such a congress could be held in theoretical physics or, especially, in medicine or biology. I was struck by a story shared by a biologist friend of mine, who said that if he decided to use the same constants as his colleagues from a related field of study, he would arrive at the conclusion that a human being weighs two tons.

— How long before the start of the Congress does the Organizing Committee start its meetings?

— We started meeting up about seven or eight years ago. The fact is, even the very process of submitting a bid to host the Congress requires a lot of work and always involves some competition. St. Petersburg had to go all-in against the French to host the ICM. In addition to its mathematical community, St. Petersburg has many other appealing features. It is Russia's most European city and a great cultural and mathematical hub that many scientists would like to visit.

On the whole, however, the structure of the Congress has changed in many ways recently. It has spawned a large number of satellite conferences organized by local action groups. Now we have about forty or so such events both in Russia and in some neighboring countries. But the original idea didn't go anywhere: the Congress aims to demonstrate the main achievements and formulate the most interesting problems for the future.

— Are the discussions usually heated? Or, on the contrary, is there little debate on what has been most important over these four years?  

— Discussions in the plenary committee always vary; sometimes things escalate, but in general, major achievements do not cause disagreement. In each area, you can highlight recent advances and adjust the set of guest speakers accordingly.

— Can you identify the areas where the past four years' achievements are indisputable? What area of mathematics is on the rise right now?

— For me, of course, it's algebraic geometry and the three-dimensional manifold theory, number theory. In my opinion, very serious advances have been made in probability theory and its various applications.  There really has been very serious progress there. In addition, there have been great advances in graph theory and infinite group theory. But I can only speak for the areas where I have actually followed the progress.

— It is said that the 1966 Congress gave a tremendous boost to Soviet mathematics. What areas began to develop after that, or maybe became more active?

— It's pretty hard to say because I was still a student at the time. But in general, it is obvious that topology, algebraic geometry, and number theory began to develop actively back then. In addition, contacts with Western scientists intensified significantly.

— You were a volunteer at the ICM in Moscow. What was your most memorable experience? Who made the greatest impression on you?

— Of course, I went to the plenary lectures, where we helped the foreigners with various small things, but what I remember the most are the informal interactions and the amazing spirit that prevailed at the ICM. I was in my third year at the time. I became interested in topology and met John Milnor (one of the six mathematicians who won the Fields Medal, the Wolf Prize, and the Abel Prize; the latter was awarded to Milnor for his ingenious and very original discoveries in geometry that opened important new prospects in topology from algebraic, combinatorial and differential points of view). At that time, he was still very young but was already one of the world's most outstanding scientists, having made a real breakthrough in topology. 

—What follow-up congresses have you remembered the most? 

— I, of course, have great memories of the 1978 Helsinki Congress, where I was a speaker. At that time, I had a lot of contact with European, Japanese, and American mathematicians. In addition, many of my acquaintances who had previously emigrated were there was well, so this was essentially the first meeting and connection between Soviet mathematicians and those who had left the USSR. It was very interesting to hear about their experiences.

Thinking differently

—About 5,000 mathematicians from dozens of countries will come to St. Petersburg. How relevant is it today to talk about mathematical schools that were once associated with national borders: the Russian school, the French school?

—Mathematical language is, of course, universal, but people still think a little differently. There is a difference in the perception of various concepts. And it does not even depend on scientists' nationality, but rather on the mathematical school that they belong to. For example, I know people from the former Soviet Union who were schooled in France afterward, and it is very interesting to see how they think differently, place different emphases.

— What is the difference?

— I am the product of math circles of the '60s. It was like a mini version of the Greek academy, where there were a lot of meetings, conversations, ideas, and discussions. A lot of things were done verbally. A person's authority was based on whether or not they could produce some interesting and functional idea or had interesting thoughts about the problem being discussed. At the same time, the local leader of the circle or group could be a very young scientist, with a rank that did not seem to match their senior position. For example, I remember a circle where the leader was a seventh-grader! And he really was a great thinker.

—Do you know what happened to him afterward?

—He grew up to be a very good mathematician. So there was a kind of special democratic spirit in my mathematical circles. That didn't mean everyone could say any random thing, but if you said something sensible, everyone listened to you, regardless of rank. But they were just as likely to sharply put you down. That is, the main thing was to concentrate on discussing interesting, functional ideas that could solve this or that problem.

—And the French school, how is it different?

—It seemed more formal to me. You see, in the West, the all-time hardest thing for me is getting people to say what they really think about a task, or about anything really, prompting them to join a serious discussion, to step on the shaky ground of hypotheses, to rise to the level of ideas, where the most interesting things happen. Here, a person is sometimes afraid to make a mistake, afraid to say too much, and therefore gives trivial answers. It has struck me from the beginning. It is almost impossible to imagine any controversy where extreme positions could clash together. Although, from my point of view, such controversies are the most useful.  

After all, sometimes in order to express a bright idea, it is necessary to sharpen it a little, so that some details might turn out wrong, but the core meaning will be conveyed better. I have not seen this approach almost anywhere else outside of Russia. Although this is possible with certain people, for example, it is always very good to talk to David Mumford, he is precisely the person who can hold this kind of fruitful conversation.

Continuing the parallel with Antiquity, we can say that these conversations are essentially Platonic dialogues, with the purpose of finding out the truth. At the Institute of Theoretical Physics, seminars could last 12 hours in a row. This completely astonished our foreign colleagues.

Of course, a seminar is always a dialogue. In today's culture, this tradition is disappearing; it is considered impolite to ask, to clarify, to argue. Right now, though, I think it's getting a little better.

—I wonder how many Russian-speaking mathematicians there are in the global community right now?

—Let's just say there are no universities today that don't have them. So this is not a —matter of percentages. Russian-speaking mathematicians are often the most active creative core.

—Why does this happen?

—It's not so much about the people themselves or their nationalities. It's about the system of education that was developed in the USSR and in Eastern European countries. We had people go into mathematics because they felt it was their calling, they were interested in it.  There were people from all over the country who really wanted to pursue this science all their lives.   A lot of people left the Faculty of Mechanics and Mathematics for applied institutes and other places, but they continued to be interested in what was going on in mathematics.  In the 90s, when Soviet science collapsed, many people even went off to earn a living in the middle of nowhere, but still kept attending seminars because they found this important and valuable.

 What initially struck me in the West was that there were many people in mathematics who had come into the field simply because they wanted a steady professorial salary and a guaranteed pension. So they studied, reached a certain decent level, and then stopped there. It is extremely difficult to shape such people into an active creative group. Somehow it works, though.

—Do you think it is possible to revive a similar system of education? Or have the people also changed, in addition to the system?

In the 1990s, this system began to spread around the world with the Soviet immigrants, who planted its sprouts everywhere. But what happens next is hard to say. Because we're in such a turbulent environment, where everything keeps changing. Today's students are very different. Many people believe that it is okay if you don't know something because everything can be found on the Internet. When we were studying, the main idea was not just to get a result, but to fully understand why this happens, that is, to see the internal fundamental laws. If these or those numbers turn out to be equal, it would be good to understand why this is the case. It's hard to explain this to a student today because they can make all the accurate calculations right on the spot. It makes a lot of difference. So today, for example, Michelson could not have discovered that the speed of light is constant.

—Why?

—Because the measurements today are too precise. And now we know that the speed of light differs in air and in other environments, that gravity bends space, and so on. 

With the appearance of fast computers with enormous memory, familiarity with many of the physical laws proved unnecessary for many specific calculations. Now you can simply put some data into the computer and get the answer by applying the right model, without wondering which fundamental laws caused that to happen. Mathematics as such turned out to be irrelevant because everything can be calculated precisely.   And that is enough for purely applied research, but the development of appropriate mathematics has hit a dead end.

A famous mathematician used to say that the most important thing for a mathematician's education is learning how to think. Classical education in mathematics makes people think differently; they learn a different approach to problem-solving.

—Why do you think we are not getting this in-depth approach today?

Because on a superficial level it's not necessary.  During the lockdown in New York, we spent a long time having classes on Zoom.  You give an assignment with the understanding that the student can find all the solutions on the Internet. And you can only hope that there still are some students left who are interested in solving this on their own, in completing this journey. And that is the basis of deep understanding.

If there are no such people, then I think humanity will deteriorate very quickly. I keep witnessing it all the time. It was here, abroad, that I saw a store cashier use a calculator to multiply something by ten for the very first time in my life. To say nothing about the multiplication table. Geography is also ceasing to be a science, people just do not understand where the north is and where the south is, and I often see people with a smartphone in their hands turn on their map app and then walk exactly in the opposite direction because they have no idea how to navigate in three dimensions at all. On the whole, in my opinion, this anti-human trend is leading to degradation. And the less a person thinks, the easier it is for the bureaucracy to thrive and to build tracking systems, and so on.  Even today we are filling out a bunch of unnecessary documents, answering a lot of questions just to get out of the house. Personally, I do it every time I need to get inside my university. Check the wrong box and you're in trouble. Why this information is collected and what will be done with it? That's the big question. I fear that all of this will not go away with the end of the pandemic, and the system will keep clamping down on us more and more.  As demonstrated in recent months.

—But all things considered, a classical education should provide some kind of inoculation against dehumanization.

—Yes, but another trend that has been bothering me lately is the departure of good students into finance. They assemble teams of top scientists, including not just mathematicians, but also theoretical physicists, statisticians, and economists, and create mechanisms that allow them to pump money. This, in fact, is no longer business, but a robbery, and a very profitable one at that. These people are starting to make dozens of times more money than they would have made a scientist, which is very tempting for many.

—Can you say that this is a new phenomenon?

In a way, but it sounds like classic piracy. In the Middle Ages, it was always much more profitable to raid and pillage than to work honestly as a sailor on a military or merchant ship. Of course, you don't always get away with it. But the piracy business is still luring in a lot of people.

Count the money

—If we continue to talk about finances, how willing are grant-givers to fund mathematicians today? Is it even possible to get a grant for solving a fundamental problem?

—In my experience of being on relevant panels, these things mostly follow a very simple and not very good principle: money is given to those who already have it. Roughly speaking, big grants go to people who are already used to getting them. It all comes down to the domination of certain tightly-knit groups. In mathematics, centers of power emerge, drawing large numbers of young scientists into their orbit, and creating a kind of population of young people who are engaged in a particular topic. Of course, the system tries to fight this, but it is very difficult.

—Is something similar happening in your field of mathematics as well?

—In algebraic geometry, forces are concentrated in several areas. Some of them, from my point of view, are interesting, and some, not at all. But this is where the principle of heredity comes in: a professor who is involved in certain a field often tries to get their students to work in this field as well, planting a sort of self-sustaining tree. This might be a good thing in some aspects, but generally speaking, it's really not a good thing. I don't think this is quite the right approach. Since I have always been involved in different things and even different fields, I have tried to adjust to the tastes of my graduate students rather than the other way round, so that the output would be a different kind of mathematics.

—Where do you think the brightest math centers are operating right now?    

—Now there are multiple notable research centers in many countries around the world, and they were usually created to accommodate specific bright individuals. There are also such classical centers as Oxford, Cambridge, Paris, Bonn, Pisa, the Tata Institute in India, Kyoto, Tsinghua and Hong Kong in China, and even Sydney. These are the centers outside the United States. The States also have a number of well-known universities and centers: Berkeley, Princeton, and so on. I remember visiting Harvard and MIT in 1981 and finding a group of bright mathematicians there. John Tate, David Mumford, Raoul Bott, Barry Mazur, and others: they all worked there. I had a lot of contact with all of them, I was roommates with some of them. It was a very productive time. In 1989, during a trip of a large group of geometers to Chicago, we met a bright group of scientists from nearby universities.

A famous mathematician once said the United States' main strength was in its fifty top-level universities where breakthrough research was concentrated, and every state had at least one such university. What makes the U.S. stand out is that if something withers somewhere, something new is bound to spring up somewhere else. In Soviet times, we called this “life in the jungle”: when a tree rots away, ten new trees sprout on top of it.  This allows the country to maintain a concentrated, highly-professional scientific environment at all times. 

In recent decades, there has been a certain person, playing a major role in supporting science. His name is James Simons. He used to be a mathematician himself, but then he made a multi-billion-dollar fortune in the stock market, and very competently organized systemic support for different branches of science. His contributions are comparable in scale to those of the U.S. government organizations. 

—The Financial Times magazine called him the smartest billionaire. In Russia, things are not that great in this field so far. 

—But in some places, life is beginning to spring up even without a large infusion of money. Moscow remains a major mathematical center thanks to the new generation of mathematicians. For example, the Higher School of Economics now has a Department of Mathematics. Its development is facilitated by the professors' active involvement in working with students and organizing scientific seminars at various levels. In fact, a lot depends on the people on the ground.

The challenges of the millennium and beyond

—Fyodor Alekseyevich, what do you think is the most interesting mathematical problem today? And which tasks on Clay's Millennium List will be completed first?

—Mathematics is a vast science. There are a lot of interesting problems in various fields that are often difficult to describe in layman terms.

I find it very interesting that proof of the Szpiro's conjecture in number theory has been published recently.  I've also been studying this a little bit. This conjecture was a problem in number theory, a very deep generalization of what everyone knows as Fermat's theorem, which is a specific example of this hypothesis. The most interesting thing is that here, in an unexpected way, the proof is formulated in very simple language that can be understood by anyone familiar with arithmetic. But the proof itself requires a fairly deep understanding of geometric objects. The proof was presented by Shinichi Mochizuki. Some scientists think he is right, others doubt his findings. And I'd like to see this debate resolved somehow.

—There probably aren't many people in the world who can find mistakes in this 500-page work.

—Yes, and that's the big problem. The proof he gave is quite complicated and difficult to verify by nature. I really hope that soon there will be some option that will be more accessible to the rest of us.

I was also very impressed by the insights into Thursten's hypothesis about the behavior of three-dimensional manifolds. Note, however, that when the number of dimensions is greater than three, things are really different. Four-dimensionality has proven to be exceptional in many respects.

Clay's list of problems is not really interesting to me. These are mostly old classic problems that you don't see a realistic approach to solving. So I have my own tasks that I find interesting.

— So should we publish Bogomolov's List?

It's quite a long list, and we're working through it right now with my student. I don't think it will be of interest to everyone, because every mathematician, over time, accumulates quite a large list of problems they would like to solve.

Interviewed by Elena Kudryavtseva

English version/Russian version

“Математическое образование заставляет людей думать по-другому”

Почему математики в отличие от биологов и физиков все еще могут понимать друг друга? Какие области науки сегодня выглядят наиболее перспективно и почему великие физики начала века не сделали бы своих открытий, родись они на сто лет позже? Об этом рассказал член оргкомитета МКМ-2022 математик Федор Богомолов.

Федор Алексеевич Богомолов — один из наиболее известных российско-американских математиков, профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета, доктор физико-математических наук. В 1970 году окончил мехмат МГУ. Первая статья была посвящена топологии. В начале 1970-х годов начинает исследования в области алгебраической геометрии. После защиты диссертации поступил в отдел алгебры МИАН. В 1994 году эмигрировал в США. В 2000-х годах стал признанным лидером мировой алгебраической и арифметической геометрии. Его работы лежат в основе современной алгебраической геометрии и ее пересечений с теоретической физикой (теорией струн). Имя ученого носят теорема Богомолова о разложении и форма Бовиля—Богомолова. С 2010 года — научный руководитель лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений Высшей школы экономики в Москве. Главный редактор European Journal of Mathematics, автор более ста работ по математике.

— Федор Алексеевич, Международный конгресс математиков привлекает к себе довольно много внимания по сравнению с обычными научными конференциями. В чем его принципиальное отличие?

— Математика остается одной из немногих областей классической науки, где до сих пор возможно проведение конгресса, который охватывает все основные направления. Так получилось, что именно математики, работающие в разных областях, все еще могут понимать друг друга. Это результат работы нескольких поколений ученых, которые создали некий общий базис, общую терминологию. То есть помимо того, что математики решали какие-то задачи и продвигали науку вперед, они занимались довольно неблагодарной работой по упрощению предыдущих результатов. Конечно, и в математике проходит процесс размывания, но общий стержень все-таки остается. В других науках, где люди концентрируется каждый на своем направлении, это общее понимание уже утеряно. Вряд ли такой конгресс можно провести по теоретической физике или особенно по медицине или биологии. Меня поразил рассказ моего знакомого биолога, который сказал, что если решит использовать константы своих коллег из смежной области исследований, то у него человек будет весить две тонны.

— За какое время до начала конгресса начинает собираться оргкомитет?

— Мы начали собираться примерно семь-восемь лет назад. Дело в том, что сама подача заявки на конгресс требует большой работы и всегда связана с некоторой конкуренцией. Санкт-Петербургу пришлось серьезно бороться за проведение МКМ с французами. Помимо математического сообщества Петербург был интересен по многим параметрам. Это наиболее европейский город России, большой культурный и математический центр, который хотели бы посетить многие ученые.

В целом же за последнее время структура конгресса во многом поменялась. Он оброс большим количеством сателлитных конференций, которые организуют локальные инициативные группы. Сейчас у нас около 40 с чем-то таких мероприятий и в России, и в некоторых соседних странах. Но и изначальная идея никуда не делась: продемонстрировать основные достижения и сформулировать самые интересные проблемы на будущее.

–– Обычно это острые дискуссии? Или, наоборот, особых споров по поводу того, что было самое главное за четыре года, не возникает?

–– Дискуссии в пленарном комитете всегда разные, бывают очень острые, но в целом крупные достижения разногласий не вызывают. В каждой области можно выделить последние достижения и под это подстроить набор приглашенных докладчиков.

— Можно выделить области, где эти достижения за последние четыре года бесспорны? Какая область математики сейчас находится на подъеме?

–– Для меня это, конечно, алгебраическая геометрия и теория трехмерных многообразий, теория чисел. На мой взгляд, были сделаны очень серьезные продвижения в теории вероятности и ее различных применений. Там действительно произошел очень серьезный прогресс. Кроме этого, были большие продвижения в теории графов и бесконечных групп. Но это только те области, за продвижением которых я следил.

–– Говорят, что конгресс 1966 года дал колоссальный импульс советской математике. Какие области после этого стали развиваться, может быть, более активно?

– Это довольно сложно сказать, потому что тогда я был студентом. Но в целом очевидно, что тогда начали активно развиваться топология, алгебраическая геометрия и теория чисел. Кроме того, существенно усилились контакты с западными учеными.

– Вы были волонтером на МКМ в Москве, что запомнилось больше всего? Кто на вас произвел наибольшее впечатление?

–– Конечно, я ходил на пленарные доклады, мы помогали иностранцам в разных мелочах, но больше всего мне запомнилось именно неформальное общение и удивительный дух, царивший на МКМ. Тогда я учился на третьем курсе, увлекся топологией и встретил там Джона Милнора (один из шести математиков, которые получили премию Филдса, Вольфа и Абеля, последнюю с формулировкой “За гениальные и очень оригинальные открытия в области геометрии, открывшие важные новые перспективы в топологии с алгебраической, комбинаторной и дифференциальной точек зрения”). Тогда он был еще очень молодым и при этом одним из самых выдающихся ученых, который сделал настоящий прорыв в топологии.

— Какие конгрессы с тех пор вам запомнились особо?

— Мне, конечно, очень запомнился конгресс 1978 года в Хельсинки, где я был докладчиком. Тогда я много общался с европейскими, японскими и американскими математиками. Кроме того, туда приехало много знакомых, которые перед этим эмигрировали, и это, по сути, была первая встреча и смычка советских математиков с теми, кто покинул СССР. Было очень интересно послушать их впечатление.

Мыслить по-иному

— В Питер приедет около 5 тыс. математиков из десятков стран. Насколько актуален сегодня разговор о математических школах, которые когда-то ассоциировались с национальными границами — российская школа, французская?

— Математический язык, конечно, единый, но все-таки думают люди при этом немножко по-разному. Есть отличие в восприятии различных понятий. Причем, это зависит даже не от национальности ученого, а скорее как раз от его принадлежности к той или иной математической школе. Например, у меня есть знакомые из бывшего СССР, которые затем прошли школу во Франции, и очень интересно наблюдать, как они по-другому соображают, расставляют другие акценты.

— В чем это отличие?

— Я вышел из математических кружков 1960-х годов. Это такой мини-вариант греческой академии, где было много встреч, разговоров, идей и их обсуждений. Это очень вербальная история. Авторитет человека базировался на том, мог ли он произвести какую-то интересную рабочую идею или соображение по поводу обсуждаемой проблемы. При этом локальным лидером кружка или научной группы мог стать совсем молодой ученый, которому это старшинство вроде бы совершенно не по рангу. Например, я помню кружок, где лидером был семиклассник! И он действительно очень хорошо соображал.

— Интересно, что с ним стало потом?

— Он вырос и стал очень хорошим математиком. Так что в моей математической среде была особая демократичность. Это не значило, что каждый мог говорить все, что угодно, но если ты говорил что-то толковое, то тебя начинали слушать все, невзирая на ранги. Ну и могли точно так же довольно резко тебя осадить. То есть главным была концентрация на обсуждении интересных работающих идей, которые могли решить ту или иную проблему.

— А французская школа чем отличается?

— Мне она показалась более формальной. Понимаете, на Западе для меня вообще самое трудное — это заставить человека говорить то, что он реально думает по поводу задачи или даже по любому поводу, вызвать на серьезное обсуждение, на зыбкую почву гипотез, на уровень идей, где происходит самое интересное. Здесь иногда человек боится сделать ошибку, боится сказать слишком много и поэтому дает банальные ответы. Меня это поражало с самого начала. Почти невозможно представить себе какой-то спор, в котором можно было бы столкнуть крайние позиции. Хотя, с моей точки зрения, такие споры и есть самое полезное.

Ведь иногда для того, чтобы выразить яркую мысль, приходится ее немножко заострить, так что она, может быть, станет в деталях неверной, но по существу будет лучше передавать смысл. Такого подхода я почти нигде не встречал за пределами России. Хотя с отдельными людьми он возможен, например, всегда очень хорошо разговаривать с Дэвидом Мамфордом — с ним как раз такие диалоги очень плодотворны.

— Продолжая параллель с античностью, можно сказать, что, по сути, это платоновские диалоги с целью выяснить истину. В Институте теоретической физики семинары могли длиться по 12 часов кряду. Это совершенно изумляло иностранных коллег.

— Конечно, семинар — это всегда диалог. В современной культуре эта традиция исчезает, считается невежливым спросить, уточнить, поспорить. Хотя сейчас, по-моему, с этим становится немного получше.

— Интересно, сколько русскоязычных математиков сейчас в мировом сообществе?

— Скажем так, сегодня нет таких университетов, где бы их не было. Поэтому вопрос здесь не в процентах. Зачастую русскоязычные математики наиболее активное творческое ядро.

— С чем это связано?

— Дело не столько в самих людях или в их национальностях. Дело в системе образования, которая была разработана в СССР и в восточноевропейских странах. У нас человек шел в математику потому, что у него было к этому призвание, она была ему интересна. Туда попадали люди, собранные со всей страны, которые действительно хотели заниматься этой наукой всю жизнь. Масса людей уходила с мехмата в прикладные институты и другие места, но они продолжали интересоваться тем, что происходит в математике. В 1990-е годы, когда наука развалилась, многие вообще ушли на заработки непонятно куда, но продолжали посещать семинары, потому что для них это важно и ценно.

На Западе изначально меня поразило то, что в математике много людей, которые пришли сюда просто потому, что им хотелось стабильной профессорской зарплаты и гарантированной пенсии. Человек учился, достигал хорошего уровня и на этом останавливался. Из таких людей создать активную творческую среду чрезвычайно сложно. Хотя как-то это работает.

— Можно ли, на ваш взгляд, возродить подобную систему образования? Или поменялась не только система, но и люди?

— В 1990-х годах эта система начала распространяться по миру вместе с советскими эмигрантами, которые всюду насадили ее ростки. Но что будет дальше — сказать трудно. Потому что мы находимся в таком турбулентном режиме, где все меняется. Современные студенты совсем другие. Многие уверены, что можно чего-то не знать, потому что все можно найти в интернете. Когда мы учились, главная идея была в том, чтобы не просто получить результат, но и полностью понимать, почему так происходит, то есть внутренние фундаментальные законы. Если какие-то числа оказываются равны, хорошо бы понимать, почему так получилось. Сегодня студенту это объяснить сложно, потому что он может сразу все вычислить точно и это очень много меняет. Поэтому сегодня, например, Майкельсон не мог бы открыть, что скорость света постоянна.

— Почему?

— Потому что сегодня существуют слишком точные измерения. И теперь мы знаем, что скорость света в воздухе и в других средах отличается, что гравитация искривляет пространство и т. д.

Когда появились быстродействующие компьютеры с огромной памятью, знание многих физических законов оказалось необязательным для многих конкретных вычислений. Теперь можно заложить в компьютер ряд данных и получить ответ, применяя правильную модель и не задаваясь вопросом, на основе чего был получен такой результат. Математика как таковая оказалась ненужной, потому что все можно вычислить точно. Этого достаточно для чисто прикладных вещей, но для развития соответствующей математики это тупик.

Один знаменитый математик говорил, что главное во всей истории образования для математика — формирование мышления. Классическое математическое образование заставляет людей думать по-другому, у них другой подход к решению задач.

— Интересно, почему сегодня не происходит этого ухода на глубину.

— Потому что на поверхностном уровне в этом нет необходимости. Во время локдауна в Нью-Йорке мы долгое время обучали по Zoom. Ты даешь задание, понимая, что студент может все решения найти в интернете. Остается только надеяться, что остались те, кому интересно это решить самому, пройти некий путь. И именно это основа глубокого понимания.

Если таких людей не будет, то, по-моему, человечество очень быстро потеряет в качестве. Я это вижу постоянно. За границей я впервые столкнулся с тем, что кассир в магазине на десять умножает на калькуляторе. Про таблицу умножения я вообще молчу. География тоже перестает быть наукой: люди просто не понимают, где север, а где юг, и я часто вижу, как люди со смартфоном в руках включают карту и идут ровно в противоположном направлении, потому что в принципе не представляют, как ориентироваться в пространстве. В целом, на мой взгляд, эта античеловечная тенденция ведет к деградации. А чем меньше человек думает, тем проще живется бюрократии, выстраивающей отслеживающие системы и т. д. Уже сегодня мы заполняем кучу ненужных документов, отвечаем на массу вопросов просто для того, чтобы просто выйти из дома. Лично я делаю это каждый раз, чтобы попасть в университет. Поставишь галочку не там — и проблемы тебе обеспечены. Зачем собирается эта информация и что с этим будут делать — большой вопрос. Боюсь, что все это не пропадет с окончанием пандемии и система будет зажимать нас все больше. Что и было продемонстрировано в течение последних месяцев.

— Все-таки классическое образование должно давать какую-то прививку от расчеловечивания.

— Да, но в последнее время меня тревожит еще одна тенденция — уход хороших студентов в финансовую сферу. Они собирают команды из ведущих ученых, включая не только математиков, но и физиков-теоретиков, статистиков, экономистов, и создают механизмы, позволяющее им накачивать деньги. Это, по сути, уже не бизнес, а просто грабеж, причем очень выгодный. Они начинают зарабатывать в десятки раз больше, чем в науке, и поэтому для многих это очень соблазнительно.

— Можно сказать, что это новое явление?

— В каком-то смысле, но это похоже на классическое пиратство. В Средние века всегда было гораздо выгоднее кого-то грабить, чем честно работать матросом на военном или купеческом корабле. Конечно, не всегда это сходит с рук. Но пиратский бизнес все равно утягивает очень многих.

Посчитать деньги

— Если продолжить говорить о финансах, можно ли сказать, насколько охотно сегодня математикам дают гранты? Можно ли вообще получить грант под фундаментальную задачу?

— По моему опыту участия в работе соответствующих панелей в основном работает очень простой и не очень хороший принцип: деньги дают тем, у кого они есть. Грубо говоря, большие гранты получают люди, которые уже привыкли их получать. Все скатывается к главенствованию отдельных сплоченных групп. В математике образуются центры силы, которые притягивают на свою орбиту большое количество молодых ученых, создают своеобразные популяции молодежи, которая занимается определенной темой. Конечно, система пытается с этим бороться, но это очень трудно.

— В вашей области математики тоже происходит нечто похожее?

— В алгебраической геометрии силы концентрируются в нескольких направлениях. Некоторые из них, с моей точки зрения, интересны, а некоторые совсем нет. Но тут работает принцип наследственности: профессор, который занимается какой-то областью, часто старается привлечь своих учеников в эту область, порождая такое самоподдерживающееся дерево. Это отчасти даже хорошо, но все-таки не очень. Мне кажется, это не совсем верный подход. Так как я всегда занимался разными вещами и даже разными областями, то старался скорее подстроиться под вкусы аспиранта, чтобы на выходе получалась разная математика.

— Где сейчас, на ваш взгляд, работают самые яркие математические центры?

— Сейчас существуют заметные исследовательские центры во многих странах мира, которые, как правило, создавались под каких-то ярких представителей. Также имеются и такие классические центры, как Оксфорд, Кембридж, Париж, Бонн, Пиза, Тата-институт в Индии, Киото, Цинхуа и Гонконг в Китае и даже Сидней. Это все центры вне США. В Штатах же существует ряд известных университетов и центров: Беркли, Принстон и т. д. Я помню, как в 1981 году посетил Гарвард и МIT и застал там компанию ярких математиков. Там работали Джон Тейт, Дэвид Мамфорд, Рауль Ботт, Барри Мазур и другие. Я со всеми ними очень много общался, у кого-то жил, и это было очень продуктивное время. В 1989 году, во время поездки большой группы геометров в Чикаго, мы познакомились с яркой группой ученых, которые работали в ближайших университетах.

Один известный математик как-то сказал, что вся сила США — это 50 университетов самого высокого уровня, где сосредоточены прорывные исследования, и в каждом штате есть хотя бы один такой университет. Особенность США в том, что если где-то что-то вырождается, то в другом месте обязательно появляется что-то новое. В советское время это называлось “жизнь в джунглях”: на том, что сгнивает, тут же вырастают десять деревьев. Это позволяет стране постоянно поддерживать концентрированную высокопрофессиональную научную среду.

В последние десятилетия большую роль в поддержке науки сыграл такой человек, как Джеймс Саймонс. Он сам был математиком, но при этом заработал на бирже многомиллиардное состояние и очень грамотно организовал систематическую поддержку разных направлений науки. Его вклад по масштабу сравним с вкладом американских правительственных организаций.

— Financial Times назвала его самым умным из миллиардеров. В России пока с этим как-то не очень.

— Но в некоторых местах начинают появляться живые силы и без больших денежных вливаний. Москва остается крупным математическим центром за счет нового поколения математиков. Например, появился факультет математики в Высшей школе экономики. Его развитию способствует активное участие профессоров в работе со студентами, в организации научных семинаров разного уровня. На самом деле очень многое зависит от людей на местах.

Задачи тысячелетия и не только

— Федор Алексеевич, какая проблема в математике, на ваш взгляд, сейчас самая интересная? И какие задачи из “списка тысячелетия” Клэя будут решены в первую очередь?

— Математика очень большая. В разных областях существует масса интересных проблем, которые часто не так-то просто описать для неспециалистов.

Мне очень интересно, что недавно было опубликовано доказательство гипотезы Шпиро в теории чисел. Я тоже этим немножко занимаюсь. Это была проблема в теории чисел, очень глубокое обобщение того, что всем известно, как теорема Ферма — частный случай гипотезы. Самое интересное, что здесь неожиданным образом доказательство формулируется на очень простом языке, понятным любому человеку, знакомому с арифметикой. А само доказательство требует довольно глубокого понимания геометрических объектов. Доказательство написал Синъити Мотидзуки, кто-то считает, что оно правильное, а кто-то из ученых сомневается. И мне хотелось бы, чтобы это как-то разрешилось.

— Наверное, не так много людей в мире, кто сможет найти ошибки в этом 500-страничном труде.

— Да, и в этом большая проблема. Доказательство, которое он дал, изначально довольно сложное, и его трудно проверить. Я очень надеюсь, что в скором времени появится какой-то вариант, который будет более доступным для остальных.

Также на меня произвели большое впечатление результаты по гипотезе Терстена про поведение трехмерных многообразий. Отметим при этом, что в размерностях больше чем три все обстоит совсем по-другому, а размерность четыре по многим параметрам оказалась исключительной.

Сам список проблем Клэя мне как-то не очень интересен. Это в основном старые классические проблемы, для решения которых не видно реального подхода к решению. Так что у меня есть свои задачи, которые я считаю интересными.

— Давайте опубликуем список Богомолова?

— Это довольно большой список, и сейчас мы прорабатываем его с моим студентом. Не думаю, что он будет интересен всем, ведь у каждого математика со временем накапливается довольно большой перечень задач, которые он хотел бы разрешить.

Беседовала Елена Кудрявцева