Life of great mathematicians. Andrey Kolmogorov

3 January, 15:18

Original post by Arzamas (in Russian)

Russian version/English version

Andrey Nikolaevich Kolmogorov

(1903-1987)

One of the greatest mathematicians of the 20th century. One of the founders of modern probability theory, author of works on philosophy, history, methodology, and teaching of mathematics, as well as theoretical physics. Professor of Moscow State University, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, full member of The Academy of Sciences of the Soviet Union. President of the Moscow Mathematical Society, winner of the Stalin and Lenin Prizes, Hero of Socialist Labor. International member of the National Academy of Sciences of the United States, the foreign member of the Royal Society, the foreign associate of the French Academy of Sciences, member of the German National Academy of Sciences Leopoldina, honorary member of the American Academy of Arts and Sciences, foreign member of the Hungarian Academy of Sciences, the Polish Academy of Sciences, the Royal Netherlands Academy of Sciences, The Academy of Finland, honorary member of the Romanian Academy. Member of the London Mathematical Society, Indian Mathematical Society, international member of the American Philosophical Society. Honorary Doctor of the University of Paris, Stockholm University, Indian Statistical Institute, etc.

Narrated by Vladimir Tikhomirov. Mathematician, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Honored Professor of Moscow State University, member of the Moscow Mathematical Society

About the sower and the trees

Andrey Nikolaevich had a cottage house in Komarovka, near Moscow, and it was all planted with a wide variety of trees, flowers, and plants. Everything he planted took root and grew. He gave the seedlings to his students, and they all took root. He was such a sower in a much deeper sense: he sowed thoughts, scattered ideas like grains. He didn't teach anyone the way they teach them in school or university, he just expressed thoughts at seminars about how something should look like theoretically, and after that they started working and achieved great success.

There was one mathematician who had something that didn't work out. And he came to Andrey Nikolaevich in this very Komarovka, they talked. And Andrey Nikolaevich asked how he was doing. He replied: “You know, everything is fine, I have all the equations, but one equation is lacking to close the system.” Andrey Nikolaevich said: “You have a random process, and a random process does not tolerate fractures. It means that everything on the left and right should connect — this will be an additional condition that will lead to the goal.” A whole scientific direction was born out of this remark.

About the first discovery made in four years

Andrey Nikolaevich had an unusual fate. His mother died at his birth, and the boy was raised by two aunts. In fact, one of them adopted him. It all happened at his grandfather's estate near Yaroslavl: it was called Tunoshna, where he spent his early childhood. It is very interesting that they tried to educate him as he said, “according to the best traditions of pedagogy of that time.” In particular, he together with his friend Pyotr Kuznetsov, later a famous linguist “published” the magazine “Spring Swallows”. Andrey Nikolaevich, who was not even five, was responsible for the mathematical part. At the same time, while preparing for publication in this magazine, he experienced his first creative joy. He discovered the following property of numbers: one squared is one, and if you add three to one, that is, two odd numbers in a row, it will be four. That is two squared. And 1 + 3 + 5 is 9 — three odd numbers are three squared, etc. This property does not disappear, and the further it goes, the more and more it confirms itself: the sum of the first n odd numbers is equal to n square. Andrey Nikolaevich made this discovery between the ages of four and five. He always said that it gave him his first creative pleasure.

About the event that turned Kolmogorov's life upside down

In 1910, he and his aunt moved to Moscow and since then Moscow has become the main city of his life. He was a sickly boy, sometimes fainted. His life was turned upside down by the following event. From 1920 to 1925, he taught at the Potylikha school, the school of the People's Commissariat for Education, and tried to please his students. Andrey Nikolaevich had a favorite class that respected him very much: the children were terribly pleased that a very young man teaches both physics and mathematics, and a circle of young biologists. Then there was such a system that the class master was chosen by the students themselves. Andrey Nikolaevich was sure that this very class would choose him. And suddenly they chose a physical education teacher. But the physical education students could not be class masters, and at the re-election they chose Andrei Nikolaevich. And then he realized that he needed to change his lifestyle, realized that he was missing something, namely physical culture. The following year, he went hiking in the Crimea with his schoolchildren, and since then hiking has become a fundamental part of his life.

About skiing

He learned to ski very well and skied better than all his graduate students. It was a test for each of us. Andrey Nikolaevich invited me to Komarovka, and then arranged a ski trip that was quite far for 40-60 km. There were classified skiers and even the first-class in skiing, but they could not withstand such a long journey. Sometimes he went out with these first-class, and then he had to take their skis and carry them while they walked. It was unexpected for me: I also grew up as a very sickly child without any physical education — I was raised by my grandparents. But when we went with Andrey Nikolaevich, I unexpectedly walked with him these 40 kilometers. Andrey Nikolaevich loved to travel on skis stripped to the waist in the bitterest frost. We took sandwiches, but we had to drink something. We went into the village and asked for milk, and everyone was perplexed when they saw strange, undressed weirdos.

Skiing skills were considered mandatory. Usually, we came to the dacha, there were conversations, evening music was a must — an evening musical hour. And after that, in the morning, at nine o'clock or maybe even a little earlier, we went skiing. We returned home at five o'clock, had lunch then said goodbye.

About a fantastic gift

Andrey Nikolaevich took to graduate school those who showed themselves independent, and he set the task for them either personally, or at a seminar. The graduate student was thinking, and from time to time there were conversations about the results. There were cases when two people came at the same time. For example, the mechanic Grigory Barenblatt, who later studied hydrodynamics and aerodynamics, and Vladimir Uspensky, who was a mathematical logician. And so they had mathematical talks with tea. At first Andrey Nikolaevich talked with Barenblatt, and Uspensky did not understand a word, and then with Ouspensky, and Barenblatt did not understand a word. Vladimir Arnold was a very diverse mathematician, but he got his two main topics from Kolmogorov. Israel Gelfand was an incomparable mathematician, but he did his first research under the guidance of Kolmogorov. Teaching is not a movement like a dog on a leash: it's a touch, it's an impulse that opens your eyes. And so Andrey Nikolaevich had a fantastic ability to give such an impulse.

About the width of the scientific views

He had an absolutely extraordinary width of scientific views. He was a naturalist, physicist, mechanic. He had major discoveries in the field of biology, in the field of geology. He was a great thinker. An outstanding scientist in every way that can be given to this word. But first of all Andrey Nikolaevich was, of course, a mathematician. Generally speaking, an ordinary scientist works in two or three, rarely four areas of mathematics. Andrey Nikolaevich had about twenty of them, and in each of them, he had absolutely remarkable achievements.

About probability theory as a part of mathematics

Perhaps his most important specialty was probability theory. The fact that the world is largely predetermined was first established by Newton. If you set the initial conditions, then everything will move in a completely predetermined way. And on the other hand, there are a lot of things that are not predetermined in any way: the result of throwing a coin, throwing a dice. Weather, ocean, atmosphere and other phenomena affect events that are considered random. Andrey Nikolaevich's greatest achievement is that he put it in mathematical order — he created the axiomatics of probability theory, which turned probability theory into a part of mathematics. Random phenomena say the weather, need to be predicted somehow. Another example is an oscilloscope that draws some kind of curve, but it is affected by various random circumstances that change the natural movement. Andrey Nikolaevich created a theory of predictions of random processes. And then it turned out that the same theory was created by a man whose name is known to everyone - this is Wiener, who invented the word “cybernetics”.

About the discovery of turbulence

Just before the war, Andrei Nikolaevich started to study turbulence, wrote three small notes on ten pages and published them in the Reports of the Academy of Sciences. Englishman Charles Taylor, an outstanding mechanic, saw a summary of Kolmogorov's publication and asked his student George Batchelor to read the articles. He learned Russian and published an article about Kolmogorov's achievements, and they became world-famous. What does this mean practically? Let“s take the flow of the Volga River. The speed of the current — well, I do not know, 5 kilometers per hour or something like that. And if there were no turbulence, it would move at the speed of a racing car, 300-400 kilometers per hour. Turbulence is swirling, which causes a tremendous decrease in speed. This is the law of nature that Kolmogorov discovered and which can be used to explain the flights of airplanes, the movement of rivers, waterfalls, snow avalanches. This is another of Andrei Nikolaevich's greatest achievements, and it is considered one of the greatest achievements of the twentieth century.

About KAM theorem

The great discovery that the planets are stable was made by the method, the source of which was Kolmogorov's work. Then Arnold developed it, and after him Moser, and now it's called KAM theory — Kolmogorov, Arnold, Moser.

There is a large body and a smaller body - the Sun and the Earth. If nothing else affects them, there are no other planets, then the Earth will move around the Sun in an ellipse. But if you launch a small satellite, it will distort the movement, and the Earth will not move in an ellipse. The question arises: what will happen? Either the satellite will fall, or the Earth. It was a great unresolved world question about whether a solar-type system is stable or unstable. Here it is, the planets are spinning, spinning… Can it suddenly collapse by itself, without any influence of any extraneous, other forces? It is very difficult to predict this, and Andrey Nikolaevich took the first step towards solving this problem. He proved that if there are three bodies, then eternal stability is possible on a massive set of initial conditions.

About Kolmogorov's lectures

For students, Andrey Nikolaevich's lectures were very difficult, it was not easy to understand them. We arranged a team of six people, took turns recording everything and multiplying it before the exam. And when I began to understand them, I realized that this was the best lecture course in my life.

Andrey Nikolaevich had his own, special manner of speech, which was difficult to perceive. Sometimes he was confused, sometimes he spoke in a loud voice, and sometimes quietly. Sometimes I missed poimts that could have been explained in more detail. Nevertheless, his public talks have always attracted a huge audience. He spoke about a hundred times at meetings of the Moscow Mathematical Society, some of his public lectures have become legendary — for example, a lecture on whether a machine can think. He proved that they could.

Russian version/English version

Андрей Николаевич Колмогоров

(1903–1987)

Один из крупнейших математиков XX века. Один из основоположников современной теории вероятностей, автор работ по философии, истории, методологии и преподаванию математики, а также теоретической физике. Профессор Московского государственного университета, доктор физико-математических наук, академик Академии наук СССР. Президент Московского математического общества, лауреат Сталинской и Ленинской премии, Герой Социалистического Труда. Иностранный член Национальной академии наук США, Лондонского королевского общества, Французской акаде­мии наук, член Германской академии естествоиспытателей ”Леопольдина”, почетный член Американской академии искусств и наук, иностранный член Венгерской академии наук, Польской академии наук, Нидерландской королев­ской академии наук, Академии наук Финляндии, почетный член Румынской академии. Член Лондонского математического общества, Индийского математического общества, иностранный член Американского философского общества. Почетный доктор Парижского университета, Стокгольмского университета, Индийского статистического института в Калькутте и др.

Рассказывает Владимир Михайлович Тихомиров. Математик, доктор физико-математических наук, заслуженный профессор МГУ, член Московского математического общества

О сеятеле и деревьях

У Андрея Николаевича была дача в Комаровке, под Москвой, и она была вся усажена самыми разнообразными деревьями, цветами, растениями. Все, что он сажал, — все приживалось, все росло. Он передавал своим ученикам саженцы, и они все приживались. Таким сеятелем он был в гораздо более глубоком смысле слова: он сеял мысли, разбрасывал идеи, как зерна. Он никого не учил так, как учат школьников или студентов, — он просто высказывал на семинарах мысли о том, как что-то, по идее, должно выглядеть, и после этого человек начинал работать и достигал больших успехов.

Был один математик, у которого что-то не выходило. И он приехал к Андрею Николаевичу в эту самую Комаровку, они беседовали. И Андрей Николаевич спросил, как у него дела. Он ответил: ”Вы знаете, все хорошо, я составил все уравнения, но одного уравнения не хватает для того, чтобы замкнуть систему”. Андрей Николаевич сказал: ”У вас же случайный процесс, а случайный процесс не терпит изломов. Значит, слева и справа все должно соединиться — это будет дополнительным условием, которое приведет к цели”. Из этого замечания родилось целое научное направление.

О первом открытии, сделанном в четыре года

Андрей Николаевич имел не совсем обычную судьбу. Мать умерла при его рождении, и мальчика воспитывали две тетушки по матери — собственно, одна из них его усыновила. Это все происходило в имении его деда под Ярославлем: оно называлось Туношна, там прошло его раннее детство. Очень интересно то, что его старались воспитать, как он сам говорил, ”по лучшим традициям педа­гогики того времени”. В частности, он вместе со своим другом Петром Савви­чем Кузнецовым, впоследствии известным лингвистом, ”издавал” журнал ”Весенние ласточки”. Андрей Николаевич, которому еще не было пяти лет, отвечал за математическую часть. Тогда же, готовясь к публикации в этом журнале, он испытал первую творческую радость. Он обнаружил следующее свойство чисел: один в квадрате — это один, а если к одному прибавить три, то есть два нечетных числа подряд, будет четыре. То есть два в квадрате. А если 1 + 3 + 5, то это будет 9: три нечетных числа — это три в квадрате. И так далее. Это свойство не исчезает, и чем далее, тем оно все более и более подтверждает себя: сумма первых n нечетных чисел равна n квадрат. Вот это открытие Андрей Николаевич сделал между четырьмя и пятью годами. Он всегда говорил, что оно дало ему первое творческое наслаждение.

О событии, перевернувшем жизнь Колмогорова

В 1910 году они с тетушкой переехали в Москву, и с тех пор Москва стала основным городом его жизни. Он был болезненным мальчиком, иногда падал в обморок. Его жизнь перевернуло следующее событие. С 1920 по 1925 год он преподавал в Потылихинской школе, школе Наркомпроса, и старался понравиться своим ученикам. У Андрея Николаевича был любимый класс, который его очень уважал: детям страшно нравилось, что совсем молодой человек преподает и физику, и математику, ведет кружок юных биологов. Тогда была такая система, что классного руководителя выбирали сами школь­ники. Андрей Николаевич был уверен, что этот самый класс его и выбе­рет. И вдруг они выбрали физкультурника. Но физкультурники не могли быть классными руководителями, и при перевыборах все-таки выбрали Андрея Николаевича. И тогда он понял, что надо менять стиль жизни, понял, что ему чего-то не хватает, а именно физической культуры. На следующий год он поехал в поход в Крым вместе со своими школьниками, и с тех пор походы стали фундаментальнейшей частью его жизни.

О лыжах

Он научился очень хорошо ходить на лыжах и ходил на лыжах лучше всех своих аспирантов. Это было испытанием для каждого из нас. Андрей Нико­лаевич приглашал в Комаровку, и потом устраивалось лыжное путешествие, вообще говоря очень далекое, на 40–60 км. Там были лыжники, имевшие разряды и даже первый разряд по лыжам, но и они не выдерживали такого длительного путешествия. Иногда он выходил с этими перворазрядниками, а потом ему приходилось брать их лыжи и нести их, в то время как человек шел пешком. Для меня это было неожиданно: я тоже рос очень болезненным ребенком без всякой физкультуры — меня воспитывали бабушка и дедушка. Но когда мы пошли с Андреем Николаевичем, я неожиданно для себя прошел с ним эти 40 километров. Андрей Николаевич очень любил путешествовать на лыжах раздетым по пояс в самый лютый мороз. Мы брали с собой бутер­броды, но надо было чем-то запить. Мы заходили в деревню и просили молочка, и все недоумевали, видя раздетых странных чудаков.

Умение кататься на лыжах считалось обязательным. Обычно мы приезжали на дачу, потом были разговоры, вечерняя музыка всегда — такой вечерний музыкальный час. А после этого утром, в девять часов или, может быть, даже немножко раньше, выходили на лыжах. Возвращались домой часов в пять, обедали, потом прощались.

О фантастическом даре

Андрей Николаевич брал в аспирантуру тех, кто каким-то образом себя проявлял независимо, и или лично ставил задачу, или на семинаре. Аспирант размышлял, и время от времени были разговоры о том, что получи­лось. Бывали случаи, когда одновременно приходило два человека. Например, механик Григорий Исаакович Баренблатт, который позже занимался гидро­динамикой и аэродинамикой, и Владимир Андреевич Успенский, который был математический логик. И вот они за чаем вели математические разговоры. Сначала Андрей Николаевич разговаривал с Баренблаттом, и Успенский не понимал ни слова, а потом с Успенским, и Баренблатт не понимал ни слова. Владимир Арнольд был очень разнообразный математик, но две основные свои темы он получил от Колмогорова. Израиль Гельфанд был мало с кем сравни­мый математик, но первые свои исследования он сделал под руководством Колмогорова. Учение не есть движение, когда собачку ведут на привязи: это прикосновение, это импульс, который раскрывает тебе глаза. И вот Андрей Николаевич обладал фантастическим умением дать такой импульс.

О широте научного мировоззрения

У него была совершенно необычайная широта научного мировоззрения. Он был естествоиспытателем, физиком, механиком. Он имел крупные откры­тия в области биологии, в области геологии. Он был большим мыслителем. Выдающийся ученый во всех отношениях, которые только можно придать этому слову. Но в первую очередь Андрей Николаевич был, конечно, мате­матиком. Вообще говоря, обычный ученый работает в двух-трех, редко четырех областях математики. У Андрея Николаевича их было порядка двадцати, и в каждой из них он имел совершенно замечательные достижения.

О теории вероятности как части математики

Пожалуй, самой главной его специальностью была теория вероятностей. То, что мир во многом предопределен, впервые установил Ньютон. Если задать начальные условия, то дальше все будет двигаться совершенно предопре­деленным образом. А с другой стороны, есть масса вещей, которые никак не предопределены: результат бросания монеты, бросания кости. Погода, океан, атмосфера и другие явления влияют на события, которые считаются случайными. Крупнейшее достижение Андрея Николаевича заключается в том, что он привел это в математический порядок — он создал аксиоматику теории вероятностей, которая превратила теорию вероятностей в часть математики. Случайные явления, скажем погоду, надо как-то прогно­зировать. Или осцил­лограф рисует какую-то кривую, но на нее действуют разные случайные обстоятельства, которые меняют естественное движение. И вот Андрей Николаевич создал теорию прогнозов случайных процессов. А потом выяс­нилось, что такую же теорию создал человек, имя которого известно каждому, — это Винер, придумавший слово ”кибернетика”.

Об открытии турбулентности

Перед самой войной Андрей Николаевич занялся наукой, которая называется турбулентность, написал три маленькие заметочки на десяти страницах и опубликовал в ”Докладах Академии наук”. Англичанин Чарли Тейлор, выдающийся механик, увидел резюме публикации Колмогорова и попросил своего ученика Джорджа Бэтчелора прочитать статьи. Тот выучил русский язык и опубликовал статью о достижениях Колмогорова, и они стали всемирно известными. А что это практически означает? Вот течет Волга. Скорость течения — ну, я не знаю, 5 километров в час или что-то в этом духе. А если бы не было турбулентности, то она двигалась бы со скоростью гоночного автомо­биля — 300–400 кило­метров в час. Турбулентность — это завихрения, из-за которых происходит колоссальнейшее уменьшение скорости. Это закон природы, который открыл Колмогоров и который можно использовать для объяснения полетов само­летов, движения рек, водопадов, снежных лавин. Это еще одно величайшее достижение Андрея Николаевича, и оно считается одним из крупнейших завоеваний ХХ века.

О КАМ-теории

Великое открытие о том, что планеты устойчивы, было сделано методом, источником которого была работа Колмогорова. Потом ее развил Арнольд, а после него — Мозер, и сейчас это называется КАМ-теория: Колмогоров, Арнольд, Мозер.

Имеется большое тело и меньшее тело — Солнце и Земля. Если ничто на них больше не воздействует, никаких других планет нет, то Земля будет двигаться вокруг Солнца по эллипсу. Но если пустить небольшой спутник, то он исказит движение, и Земля будет двигаться не по эллипсу. Возникает вопрос: что произойдет? Либо спутник упадет, либо Земля. Это был великий нерешенный мировой вопрос о том, устойчива или неустойчива система типа Солнечной. Вот она существует, планеты крутятся, крутятся… Может ли она сама по себе, без всякого влияния каких-то посторонних, иных сил, вдруг развалиться? Предсказать это очень трудно, и первый шаг к решению этой проблемы сделал Андрей Николаевич. Он доказал, что если тел три, то возможна вечная устой­чивость на массивном множестве начальных условий.

О лекциях Колмогорова

Для студентов лекции Андрея Николаевича были очень сложными, понимать их было нелегко. Мы устроили команду человек в шесть, по очереди все запи­сывали и размножили перед экзаменом. И вот когда я стал разбираться в них, я понял, что это лучший лекционный курс в моей жизни.

У Андрея Николаевича была своя, особая манера речи, которую, вообще говоря, было трудно воспринимать. Порой он сбивался, иногда говорил громким голосом, а иногда — тихим. Иногда пропускал детали, которые можно было бы разъяснить подробнее. Тем не менее его публичные выступления всегда соби­рали огромную аудиторию. Он около ста раз выступал на заседаниях Москов­ского математического общества, некоторые из его публичных лекций стали легендарными — например, лекция о том, может ли машина мыслить. Он дока­зывал, что может.