"I decided to go into science, where only one proof was enough for the final conclusion"

5 November, 17:16

English version/Russian version

Prominent Soviet mathematician Andrei Nikolaevich Kolmogorov is one of the founders of modern probability theory. Kolmogorov also conducted numerous studies in topology, geometry, mathematical logic, classical mechanics, turbulence theory, theory of complexity of algorithms, information theory, theory of functions, theory of trigonometric series, measure theory, theory of approximation of functions, set theory, theory of differential equations, theory of dynamical systems, functional analysis. The results he obtained had a tremendous impact on the modern mathematics.

First steps in mathematics

Andrey Kolmogorov was born on April 12 (25), 1903 in the city of Tambov. His mother, Maria Yakovlevna Kolmogorova, died in childbirth, and his father Nikolai Matveyevich Kataev was an agronomist. The future mathematician lived in Yaroslavl with his mother's sisters, one of whom, Vera Yakovlevna Kolmogorova, officially adopted him. The sisters organized a school for local children, which published a handwritten magazine “Spring Swallows” with poems, drawings, stories of kids. There Kolmogorov published arithmetic problems. His first work in mathematics also appeared there: he found that the sum of the first odd numbers is the full square of their number (for example, 1 + 3 + 5 = 3²).

In 1910, Kolmogorov and his aunt moved to Moscow so that he could enter a gymnasium. They chose the private gymnasium of E.A. Repman — an educational institution with first-class teachers, where pedagogical practices, unusual for that time (some of them even now), were also used. For example, there was no gender division, teachers did not give grades, and if someone showed interest in a subject, he could study it together with high school students.

In 1920, Kolmogorov entered the mathematical department of the Lomonosov Moscow State University. There, in his early years as a student, he was fond of the history of Russia, and quite deeply: he conducted scientific research on land matters in the Novgorod land, relying on materials from scribes of the 15th-16th centuries. Academician V. L. Yanin wrote about how Kolmogorov abandoned his career as a historian: “Andrei Nikolaevich himself repeatedly told his students about the end of his 'career as a historian'. When the work was reported to him at the seminar, the head of the seminar, Professor S. V. Bakhrushin, approving the results, noted, however, that the young man's conclusions cannot claim to be definitive, since ‘in historical science, each conclusion must be substantiated by several proofs.’ Subsequently, talking about this, Kolmogorov added: ‘And I decided to go into science, in which only one proof was enough for the final conclusion.’ History has forever lost a brilliant researcher, and mathematics gained one”

Later, Kolmogorov himself wrote about how he tried to find himself in mathematics. “Having conceived to engage in serious science, I, of course, strove to learn from the best mathematicians. I was fortunate enough to study with P. Urysohn, P.Aleksandrov, V.Stepanov and N.Luzin, who, may primarily be considered my teacher in mathematics,” he claimed.

Throughout his studies at Moscow University, Kolmogorov experienced serious financial difficulties, but his successes in mathematics more than covered his lack of comfort. The scholarship was too small for a normal life. “Having passed the first year exams in the very first month, as a second year student, I got the right to 16 kilograms of bread and 1 kilogram of butter per month, which, according to the ideas of that time, already meant complete material well-being. I had clothes, and I made my own shoes with wooden soles,” he said.

As time went on, Kolmogorov grew more and more interested in mathematics. In the end, the renowned theoretician of real analysis Nikolai Nikolaevich Luzin drew attention to him. Later he became the scientific advisor of the young scientist. Throughout the 1920s years the mathematician paid serious attention to mathematical linguistics.

First successes

In 1922, Kolmogorov gained worldwide fame by constructing an example of an integrable function for which the Fourier series diverges everywhere. Each integrable function can be represented as an infinite sum of sinusoids — a Fourier series. Cutting this infinite sum and calculating the values of such partial sums gives a sequence that can approach (converge) to one number. Nineteen-year-old student Kolmogorov showed an example of functions for which this is not performed. It was a great surprise for mathematicians.

In 1924, the mathematician began to study probability theory and the law of large numbers, which describes the result of performing the same experiment a large number of times. He was able to prove that a necessary and sufficient condition for the applicability of the law of large numbers for independent identically distributed random variables is the existence expected value. Kolmogorov came to this conclusion after a long and fruitful collaboration with one of the most important Soviet scientists in probability theory, A. Y. Khinchin.

In general, Kolmogorov had a great influence on the theory of probability - it was his works that shaped its modern look. He proposed an axiomatization of the theory of probability, which today is considered generally accepted for its mathematical description.

In 1925, the outstanding mathematician published the work “On the principle of tertium non datur”, in which he solved the dispute between two mathematical schools: the formal axiomatic and intuitionistic. Kolmogorov showed that the law of excluded middle (it says that either “A” or “not A” is true — there is no third option), which cannot be applied in intuitionistic logic, does not actually spoil constructions. He was able to prove that all formulas deduced according to the rules of classical formal logic, with a certain interpretation, turn into deducible formulas of intuitionistic logic.

In 1931, Kolmogorov was promoted to professor at Moscow State University, and in 1935-1939 he served as director of the Institute of Mathematics and Mechanics at Moscow State University.

In 1933, he proposed a nonparametric test known today as Kolmogorov–Smirnov test criterion of agreement. It can be used to compare a sample with a reference probability distribution.

Military research

During the World War II, when all research was to be of a military nature, Kolmogorov studied the best dispersion of shells when firing. After the war, the scientist returns to peaceful research.

Since the late 1930s, Kolmogorov was interested in the problems of turbulence, which he studied in the works of 1941-1942 and 1962. He developed the theory of “locally isotropic turbulence”, which helped to clarify the structure of turbulent flow. In 1946, the mathematician founded the laboratory of atmospheric turbulence at the Geophysical Institute of the USSR Academy of Sciences.

In 1953, Kolmogorov proposed a new definition of an algorithm. Its peculiarity was that both the problem and the solution were represented in the form of a one-dimensional topological complex, and each stage of the algorithm process is the processing of one complex into another (according to certain rules).

Reformer

In the 1960s, the leaders of the USSR decided that the education system (and the teaching) of mathematics needed reforming, since only outdated mathematics was taught to schoolchildren, and its new achievements were not covered at all. Kolmogorov played a very important role in these reforms. Under his leadership, new programs and textbooks were created, which were later republished continuously.

In 1976, Kolmogorov founded the Department of Mathematical Statistics of the Mechanics and Mathematics Department of Moscow State University and was its head until 1980, after which he became the head of the Department of Mathematical Logic and held this post until his death in 1987. Throughout his life, Kolmogorov received a huge number of awards and prizes, and indeed achieved great recognition, and not only in the world of mathematics.

English version/Russian version

“Я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно было одного доказательства”

Выдающийся советский математик Андрей Николаевич Колмогоров – один из основоположников современной теории вероятности. Колмогоров также проводил многочисленные исследования в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций, теории тригонометрических рядов, теории меры, теории приближения функций, теории множеств, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, функциональном анализе. Полученные им результаты оказали колоссальное влияние на облик современной математики.

Первые шаги в математике

Андрей Николаевич Колмогоров родился 12 (25) апреля 1903 года в городе Тамбов. Его мать – Мария Яковлевна Колмогорова – умерла при родах, а отец Николай Матвеевич Катаев был агрономом. Будущий математик жил в Ярославле у сестер матери, одна из которых – Вера Яковлевна Колмогорова – усыновила его официально. Сестры организовали школу для местных детей, в которой издавался рукописный журнал “Весенние ласточки” со стихотворениями, рисунками, рассказами учеников. В нем Колмогоров публиковал арифметические задачки. Там же появилась его первая работа по математике. В ней он доказывал, что сумма первых нечетных чисел является полным квадратом их количества (например, 1+3+5=3²).

В 1910 году Колмогоров вместе с тетей переехал в Москву, чтобы поступить в гимназию. Для обучения юного математика выбрали частную гимназию Е. А. Репман – учебное заведение с первоклассными учителями, где применялись необычные для того времени (в некоторых моментах – и для нашего) педагогические практики. Например, не было разделения по полу, учителя не ставили оценок, а если кто-то проявлял интерес к предмету, то мог заниматься им вместе со старшеклассниками.

В 1920 году Колмогоров поступил на математическое отделение МГУ имени Ломоносова. В первые годы учебы он серьезно увлекался историей России и даже провел научное исследование о земельных отношениях в Новгородской земле, опираясь на материалы писцовых книг XV—XVI веков. Академик В. Л. Янин писал о том, как Колмогоров отказался от карьеры историка: “Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей ”карьеры историка“. Когда работа была доложена им на семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого человека не могут претендовать на окончательность, так как ”в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами“. Впоследствии Колмогоров, рассказывая об этом, добавлял: ”И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно было одного доказательства“. История навсегда потеряла гениального исследователя, а математика приобрела его”.

Позже сам Колмогоров писал о том, как пытался найти себя в математике. “Задумав заниматься серьезной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков. Мне посчастливилось заниматься у П. С. Урысона, П. С. Александрова, В. В. Степанова и Н. Н. Лузина, которого, по-видимому, следует считать по преимуществу моим учителем в математике”, – считал он.

На протяжении своего обучения в Московском университете Колмогоров испытывал серьезные финансовые трудности, однако его успехи в математике с лихвой покрывали отсутствие комфорта. Стипендия была слишком мала для нормальной жизни. “Сдав в первый же месяц экзамены за первый курс, я, как студент второго курса получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам”, – рассказывал он.

Время идет, Колмогоров все больше и больше увлекается математикой. В конце концов, на него обратил внимание прославленный теоретик действительного анализа Николай Николаевич Лузин. После этого он стал научным руководителем молодого ученого. На протяжении всех 1920-х годов математик серьезное внимание уделял математической лингвистике.

Первые успехи

В 1922 году Колмогоров приобрел мировую известность, построив пример интегрируемой функции, для которой ряд Фурье расходится во всех точках. Каждую интегрируемую функцию можно представить в виде бесконечной суммы “синусов и косинусов” — ряда Фурье. Если “обрубить” эту бесконечную сумму и посчитать значения таких конечных сумм, то получится последовательность, которая постепенно может приближаться (сходиться) к одному числу. Пример Колмогорова показал, для каких функций это не выполняется. Этим девятнадцатилетний студент крайне удивил специалистов математиков.

В 1924 году математик начал заниматься теорией вероятности и изучать закон больших чисел, который описывает результат эксперимента, проведенного много раз. Он смог доказать, что необходимое и достаточное условие применимости закона больших чисел для независимых случайных величин с одинаковым распределением — существование у них математического ожидания (среднего). К этому выводу Колмогоров пришел после долгого и плодотворного сотрудничества с одним из наиболее значимых советских ученых в теории вероятностей А. Я. Хинчиным.

Вообще Колмогоров оказал большое влияние на теорию вероятностей – именно благодаря его трудам она получила современный облик. Он предложил аксиоматизацию теории вероятности, которая сегодня считается общепринятой для ее математического описания.

В 1925 году выдающийся математик выпустил работу “О принципе tertium non datur”, в которой решил спор между двумя математическими школами: формально-аксиоматической и интуиционистской. Колмогоров показал, что закон исключения третьего (он гласит, что верно либо “А”, либо “не А” — третьего не дано), который нельзя применять в интуиционистской логике, на самом деле не портит построений. Он смог доказать, что все выводимые по правилам классической формальной логики формулы при определённой интерпретации превращаются в выводимые формулы интуиционистской логики.

В 1931 году Колмогоров получил должность профессора МГУ, а в 1935–1939 годах занимал пост директора Института математики и механики МГУ.

В 1933 году математик обосновал критерий согласия Колмогорова — один из важнейших критериев математической статистики. Он позволяет проверить, что конкретная выборка соответствует предполагаемой модели.

Военные исследования

Во время Великой Отечественной войны, когда все исследования должны были иметь военную направленность, Колмогоров изучал законы рассеивания снарядов при стрельбе. После войны ученый возвращается к мирным исследованиям.

Реформатор

В 1960-х годах руководство СССР решило, что система образования (и преподавания) нуждается в реформировании, так как школьникам преподают только устаревшую математику, а новые ее достижения совсем не освещаются. Колмогоров играл в этих реформах очень важную роль. Под его руководством были созданы новые программы и учебники, которые после издавались еще много раз.

В 1976 году Колмогоров основал кафедру математической статистики мехмата МГУ и был ее заведующим до 1980 года, после чего стал заведующим кафедры математической логики и занимал этот пост до своей смерти в 1987 году. За всю свою жизнь Колмогоров получил огромное количество наград и премий, добившись мирового признания.