Congress of Young Scientists. What is the future of mathematics?

14 December 2021, 11:01

English version/Russian version

There is an opinion that mathematics unlike physics and biology has everything discovered and proven long ago. Stanislav Smirnov, the scientific director of the Chebyshev Laboratory of St. Petersburg State University, professor of Skoltech, Fields Medalist, and a member of the organizing committee of the International Congress of Mathematicians which will be held in St. Petersburg in 2022 disproved this point at the Congress of Young Scientists in the Sirius Science and Arts Park.

Stanislav Smirnov began his lecture with a demonstration of the oldest mathematical problems. Algebraic and geometric problems more than four thousand years old carved on clay tablets or written on papyrus, turn out to be very similar to modern problems. Some of them are of an applied nature, such as calculating the height of a pyramid, and some were probably solved just out of interest. Mathematics has been developing since ancient times, but they began to think about where it goes and for what purpose a little more than a hundred years ago. The first mathematical society appeared in Moscow in 1864 and the oldest congress, the International Congress of Mathematicians, has been held for 130 years. At the II International Congress of Mathematicians, David Hilbert presented 23 major mathematical problems.

“We as a team of scientists happen to be very successful, and Russia played a very important role in solving Hilbert's problems. Sixteen problems have been solved completely, two have been partially solved. At the same time, six problems were solved in Russia,” Stanislav Smirnov said.

Interestingly, Hilbert's tasks are still relevant and make a huge contribution to the development of other sciences from biology to physics. In general, there are a lot of applied discoveries in the history of mathematics. For example, when quantum mechanics appeared, a special field of mathematics arose independently — functional analysis, which provides a mathematical apparatus for explaining physical phenomena that contradict human intuition.

Nevertheless, according to Stanislav Smirnov, the number of unsolved tasks does not decrease: “It turned out that we have been very successful for a hundred years, but there are more open tasks. How did it happen? We are proving something new, and this allows us to work in a new field.” This, in turn, leads to new questions. So they create new lists of mathematical problems, and in 2000 the Clay Mathematics Institute published a list of seven Millennium Prize Problems with a one million dollars award for each one. The first of the seven problems, the Poincare hypothesis, was solved just two years after the publication of the list by the Russian mathematician Grigory Yakovlevich Perelman.

Three years later, in 2003, the Defense Advanced Research Projects Agency published its own list of 23 mathematical challenges with the goal of “dramatically revolutionizing mathematics and thereby strengthening the scientific and technological capabilities”. The responses to that challenges will help to better understand the theory of relativity, the human brain, the evolution of viruses, as well as optimize computing technology.

“In biology, we have never had such a volume of data that would allow us to notice patterns. When we see the leaves falling, it seems that it is impossible to describe. But maybe now the age of mathematical biology will finally begin, which will allow us to do this,” commented Stanislav Smirnov.

Then the speaker turned to the topics that are discussed at numerous mathematical congresses. Among them are the tasks of optimal packing of balls in two-, three- and even eight-dimensional space, as well as the use of harmonic functions in machine learning. In conclusion, Stanislav Smirnov stressed that each new congress has more and more applied mathematics.

by Ekaterina Mishchenko 

media@icm2022.org

English version/Russian version

Конгресс молодых ученых. Куда идет математика?

Бытует мнение, что в математике, в отличие от физики и биологии, все давно уже открыто и доказано. С опровержением этой позиции на Конгрессе молодых ученых в Парке науки и искусства “Сириус” выступил Станислав Смирнов, научный руководитель исследовательской лаборатории имени П. Л. Чебышева Санкт-Петербургского государственного университета и профессор Сколковского института науки и технологий, лауреат Филдсовской премии, а также член организационного комитета Международного конгресса математиков, который состоится в Санкт-Петербурге в 2022 году.

Свою лекцию Станислав Смирнов начал с демонстрации древнейших математических задач. Алгебраические и геометрические примеры возрастом более четырех тысяч лет, высеченные на глиняных табличках или написанные на папирусе, оказываются очень похожими на современные задачи. Некоторые из них имеют прикладной характер, как, например, вычисление высоты пирамиды, а некоторые, вероятно, решались просто ради интереса. Математика развивалась с глубокой древности, но задумываться о том, куда она идет и для какой цели, стали чуть более чем сто лет назад. Первое математическое общество появилось в Москве в 1864 году, а самый старый конгресс — Международный конгресс математиков — проводится на протяжении всего 130 лет. На II Международном конгрессе математиков Давид Гильберт впервые сформулировал 23 главные математические проблемы человечества.

“Мы [математики — примечание InScience.News] как коллектив ученых оказались очень успешны, и очень большую роль в решение проблем Гильберта внесла Россия. Шестнадцать проблем решены полностью, две решены частично. При этом шесть проблем решили в России”, — отметил Станислав Смирнов.

Интересно, что задачи Гильберта актуальны до сих пор и вносят огромный вклад в развитие других наук — от биологии до физики. В целом, в истории математики очень много прикладных открытий. Например, когда появилась квантовая механика, параллельно и независимо возникла специальная область математики — функциональный анализ, который предоставляет математический аппарат для объяснения физических явлений, которые противоречат человеческой интуиции.

Тем не менее, по словам Станислава Смирнова, количество нерешенных задач не уменьшается: “Оказалось, что мы сто лет были очень успешны, но открытых задач стало больше. Как так получилось? Мы доказываем что-то новое, и это позволяет работать в новой области”. Это, в свою очередь, приводит к новым вопросам. Поэтому сегодня создаются новые списки математических проблем, и в 2000 году Математический институт Клэя опубликовал список из семи проблем тысячелетия, за решение которых присуждается премия размером в один миллион долларов. Первую из семи задач — гипотезу Пуанкаре — всего через два года после публикации списка решил российский математик Григорий Яковлевич Перельман.

Спустя три года, в 2003 году Управление перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США DARPA опубликовало собственный список из 23 математических проблем, решение которых “кардинально улучшит научный и технический потенциал” человечества. Ответы на поставленные в задачах вопросы помогут лучше понять теорию относительности, работу человеческого мозга, эволюцию вирусов, а также оптимизировать вычислительную технику.

“В биологии у нас никогда не было такого объема данных, который позволил бы замечать закономерности. Когда мы видим, как падают листья, кажется, что это невозможно описать. Но, может быть, сейчас наконец начнется век математической биологии, который позволит нам это сделать”, — прокомментировал Станислав Смирнов.

Затем докладчик обратился к темам, которые обсуждаются на многочисленных математических конгрессах. Среди них и задачи на оптимальную упаковку шаров в двух-, трех- и даже восьмимерном пространстве, а также на использование гармонических функций в машинном обучении. В заключение Станислав Смирнов подчеркнул, что на каждом новом конгрессе становится все больше и больше прикладной математики.