Bernd Sturmfels in conversation with Yulia Alexandr

16 September, 09:29

(Also may be found on the ICM 2022 YouTube channel

Y: Which area of mathematics are you working in? Tell us a little bit about your research.

B: I have worked in a number of areas, including combinatorics, commutative algebra, and algebraic geometry, but my work has always involved a view toward applications and inspiration from fields outside of pure mathematics, such as statistics, optimization, computational biology, and -- most recently -- particle physics. In recent years, my area of mathematics was coined “Nonlinear Algebra”, and this is also the title of my lecture at the ICM. This recognizes the fact that linear algebra, together with numerical methods, are powerful tools for computational science, engineering and technology, including data science. It is my belief that nonlinear methods, notably those drawn from algebraic geometry, are the natural next step following linear algebra, and that their potential is still vastly underestimated. Please check out the new introductory text book I wrote with Mateusz Michalek.

Y: It is indeed a great book, I can attest to that. What was your mathematical path like?

B: In high school, I had no special mathematical training or exposure. After completing my compulsory military service in West Germany, I decided to enroll in a new program called “Mathematics with Computer Science” at the Technical University in Darmstadt. That's where I fell in love with mathematics, especially discrete geometry, more precisely, polytopes and matroids. After my first degree, I obtained a one-year fellowship to go to Seattle, to attend the University of Washington. It was a crazy time, with me being madly in love with a Korean student who later became my wife. My German advisor wanted me to return to Darmstadt but I wanted to stay in Seattle. In order to make this happen, I had to write two doctoral theses, both pretty mediocre in hindsight. After postdoctoral years in Minneapolis and Linz, I taught at Cornell University, before joining UC Berkeley in 1995, where I am still Professor of Mathematics, Statistics and Computer Science. Since 2017, I am also a director at the Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig.

Y: So you discovered the beauty of mathematics in college, but when did you realize that you wanted to pursue a research career?

B: I think this happened in 1987-88, during my first postdoc at the Institute for Mathematics and its Applications IMA, during a cold winter in Minneapolis. I had an amazing realization that someone paid me for doing what I loved, namely research in mathematics. At the time I also felt that they somehow made a mistake for paying me, because I felt like an imposter. That worried me. I was sitting in seminars and did not understand. I went to the library and the math books were incomprehensible. But everyone else seemed on top of it. I decided to wait and see, and accept a job in math in the meantime. Surely, some day they“ll discover that I am a fraud. But this has not happened yet.

Y: I am sure many of us can relate to this sentiment, as imposter syndrome is certainly challenging. What are some other challenges you had to face in your career? What did you learn from them?

B: After I submitted my German dissertation in 1987, the relationship with my Darmstadt advisor turned sour. He was unhappy that I had left him and stayed in the US, and he felt that I was stealing his ideas and building my success upon them. He started writing negative recommendation letters for me, and I was about to give up on my dream to pursue math. But, in the meantime, I had a wonderful support system, both in Minneapolis and Seattle, and other mentors, especially Bruno Buchberger and Victor Klee, helped me stay on my path. I felt that pursuing research is a deeply personal and emotional affair, and that it is important to learn to deal with people, which sometimes means to stay away from some of them.

Over the years, I also faced a number of challenges that arose from the fact that my mathematics is simply not mainstream. In particular, traditional applied mathematicians viewed me with suspicion: how dare this algebraist enter their turf? This happened quite a bit in the early 2000's when I worked intensely in computational biology with Lior Pachter. I learned that there may be many different points of view on the same topic, and one has to be tolerant and work hard to understand them. Ultimately, it's important to stay on course.

Y: This is very interesting. Indeed, I believe that it is very important to be able to communicate with one‘s colleagues in the field. On this note, are there any mathematicians that inspire you? Why?

B: I found many mathematicians very inspiring, starting with those who published in the 19th century. Being able to read German is an advantage when studying the works of Hilbert, Riemann, etc. But, these days one can also get excellent translations of classical mathematics. My hero from that period is Felix Klein. He combines deep mathematics with passion for education. He writes like a philosopher but in a manner that is very clear and inspiring.

Among mathematicians I got a chance to interact with in person, I also drew inspiration from many. Allow me to list ten people I had the great fortune to have as coauthors: Gian-Carlo Rota, Louis Billera, Guenter Ziegler, Israel Gel'fand, Andrei Zelevinsky, Mikhael Kapranov, David Eisenbud, Alicia Dickenstein, Lior Pachter, Pablo Parrilo. Working with them was immensely inspiring.

Y: That‘s fantastic. When you talked about Felix Klein, you mentioned that he combined mathematics with his passion for education. At this point in time, you yourself have advised more than 60 graduate students and mentored even more postdocs. Do you like being a mentor? Do you find it rewarding?

B: Working with graduate students and postdocs has been the best part of my job. People naturally gravitate towards the pursuits they are good at, and I think I have been pretty good at engaging young mathematicians and guiding them through the early stages of their careers. And, admittedly, it also gives an opportunity to disseminate my own ideas and results. Teaching these to PhD students has a multiplier effect in impact that is much harder to achieve by a solitary pursuit of publishing.

Y: How would you describe your advising style?

B: My advising style is forceful and interactive. A colleague once referred to it as the samurai method. I introduce students and postdocs to lots of problems and topics. And, I introduce them to each other, with a strong encouragement to collaborate. A few years ago, I wrote a piece titled ‘Adventures in Mentoring’ for the Early Career Section of the Notices of the AMS. Take a look. You can find it on my home page.

Y: The ICM webpage says that you firmly believe in excellence through diversity and the axioms laid out by Federico Ardila. What are those axioms?

B: These four axioms appeared in Federico's Article ‘Todos Cuentan: Cultivating Diversity in Combinatorics’ in the Notices of the AMS in 2016.  Here they are:

Axiom 1. Mathematical potential is distributed equally among different groups, irrespective of geographic, demographic, and economic boundaries.

Axiom 2. Everyone can have joyful, meaningful, and empowering mathematical experiences.

Axiom 3. Mathematics is a powerful, malleable tool that can be shaped and used differently by various communities to serve their needs.

Axiom 4. Every student deserves to be treated with dignity and respect.

Y: These are certainly great axioms to build upon. Why do you think diversity is so important in mathematics?

B: I believe in excellence through diversity. Some people believe that there is a conflict between fostering diversity and striving for academic excellence. I found the opposite to be true. True excellence is inclusive. I have trained students and postdocs for academic careers at top research schools, and my approach has always been to build a diverse, inclusive, and supportive team. Ultimately, it helps everyone in a research community. Take, for example, your typical research seminar. It can be a tough place for young scholars. Tone and atmosphere are tremendously important. I found that active participation by women and members of other underrepresented groups makes a huge difference. There is a threshold in their participation rate, around 30% in my empirical experience, at which a phase transition occurs. Above that threshold, seminars are fun and productive for everyone.

Y: In your opinion, is mathematics a solitary or a social activity?

B: For me personally, mathematics is a social activity. But others are different. Some truly outstanding and visionary mathematicians work alone. Being solitary gives them the space and time to dig very deeply into a hard problem, and solve it.

Y: Speaking of problems, finding a good research problem can be challenging for young mathematicians. How do you pick the research problems to work on? Is there a polynomial-time algorithm you can share?

B: I never found this challenging. There are so many good problems out there. Just open your eyes. Talk to people. Read the literature. Every problem that is solved leads to three new ones. Finding solutions has been the challenging part for me. After all, good problems are often hard. One algorithm I can recommend is to keep notes. Whenever you encounter an idea that might lead to a project, write down very clearly what it is about. Start doing computer experiments and keep a log about the preliminary findings. And, don't be afraid of sharing half-baked ideas with your peers.

Y: That is great advice. Now let me ask you a few more philosophical questions about mathematical success. I have heard some people say that in order to become a successful mathematician, one must start learning advanced math at a very young age. Do you agree with this statement? Is it ever too late?

B: It is true that colleagues who started very early in mathematics have a certain advantage when it comes to technical skills. In that sense, mathematics is similar to sports and music. But, just like these two, people can join at any age. I myself only got exposed to mathematical research when I was about 21. But, I have also known colleagues who started later in their life. In my view, the mathematical sciences are a welcoming community to those who like math, regardless of their age. An important aspect of this is teaching. For a mathematics professor, teaching is a big part of their profession, and sometimes those who joined later are excellent teachers.

Y: It is great to know there‘s hope for all of us. What is more important for a mathematician: talent or hard work?

B: Hard work, of course. Talent is something one is born with, or that has been fostered at an early age, e.g. by parents. Talent is not something you can influence, but hard work is up to you.  This is something you can control: especially, when surrounded by like-minded people, hard work can be lots of fun.

Y: Hard work is indeed the key. Aside from that, how does one make it in mathematics? Is there the most important quality that every aspiring mathematician must have?

B: Generally, I think, no. However, social skills are much more important than most mathematicians are willing to admit. You have to be able to interact with colleagues and students. You must present your ideas and engage with those of others. You need to convince hiring committees and funding agencies. For instance, take yourself. Your path to mathematics was not entirely straight, but you have excellent social skills. This will make a huge difference in your career. You are able to lead a team. I expect you to become a successful research mathematician, if that is your wish.

Y: Thank you so much for the kind words. What is the main piece of advice you would give to young mathematicians like myself?

B: Don't get discouraged. Don't listen to relatives who tell you to become a lawyer or medical doctor instead. Don't be afraid to contact professional mathematicians and ask them for suggestions concerning your path. They only look intimidating, but they are generally really nice and supportive people.

Y: What are the main challenges of being a professional mathematician?

B: One obvious challenge of considerable concern to young scholars is getting a position in academic mathematics. This requires dedication, persistence, and willingness to relocate to places you never even knew existed. You have to be ready to leave your family and hometown behind for a while and see the world. This is a challenge for many, especially at a stage when one hopes to start a family. In my experience, many challenges can be overcome with the help of good mentors and a support system of peers.

Y: Do you see mathematics as a form of art, in some sense? If yes, where do you draw inspiration from? If not, what is math to you?

B: Mathematics is definitely an art. The world around us is inspiration. It is very tempting to believe in a Creator. My mathematics draws inspiration from the surroundings. A cloud in the sky is a spectrahedron. A table cloth is an algebraic surface. The concert hall looks like a polyhedral complex.

Y: You named several mathematical objects. Do you have a favorite one?

B: My favorite mathematical object became the logo of the Nonlinear Algebra Group at MPI Leipzig. It is a three-dimensional convex body that is known as the elliptope or the samosa. Indeed, it is a puffed up tetrahedron that looks like those delicious samosas you can eat at an Indian restaurant. It is not a polyhedron but a spectrahedron, and it plays an important role for Gaussian models in statistics and for semidefinite programming in optimization. Algebraic geometers know this object as Cayley's cubic surface, and they construct it by blowing up the projective plane at the six intersection points of four general lines. I like the elliptope because it represents the unity of pure and applied mathematics in my field.

To me, mathematics is a language that connects us. It transcends culture. I think it was Poincare who said: ‘Poetry is the art of giving different names to the same thing, but mathematics is the art giving the same name to different things’. To me, that's very much true.

Y: Indeed, I actually think that poetry and math have a lot in common. I believe it was Einstein that called math ‘the poetry of logical ideas.’ Well, Saint Petersburg is a very poetic city. Have you been there before?

B:  I have not been to Saint Petersburg before. In fact, I have to confess, I have not been to Russia. So, I very much look forward to the next summer and to visiting Russia and Saint Petersburg for the first time.

Y: What are you most looking forward to doing in St. Petersburg?

B: Well, first of all, there‘s the congress itself. It is always nice to catch up and learn about what‘s current in mathematics. I also look forward to doing some sight-seeing: visiting the Hermitage, enjoying the white nights, maybe doing an outing to the Baltic Sea.

Y: Do you ever need a break from math? What do you like to do outside of mathematics?

B: I do take a break sometimes, I do go on vacations. I like hikes, I like skiing. However, it is hard to take a break. For me, it‘s been my life: I wake up in the morning, I think about math, and I see math everywhere, so I don‘t take breaks very often, just occasionally.

Y: Looking forward, where do you thing the future of mathematics lies? What are the trending fields that young people should explore?

B: That‘s hard to say, there are many different directions. When I look at the ICM classification list, there are 20 of them, and they‘re all very exciting, from logic to history of mathematics. I think geometry, algebra, and topology have been very much inspired by mathematical physics. If we think about Fields medalists in the past 20-30 years, almost half of them were, in some way, inspired by physics. One hope that I have is that eventually biology and life sciences will play a similar role. Whether it‘ll happen in my lifetime, remains to be seen. In any case, I think that the future of mathematics is bright. Data science is currently on everybody‘s mind, so maybe your parents don‘t just speak to you about becoming a lawyer or a doctor, but also a data scientist. So, students often ask me which area of mathematics is relevant for data science. My answer is: your area. Your area of math can be made relevant (by you!) to the data science.

Y: What is your favorite unsolved problem in mathematics, so that our readers could try it at home?

B: Mathematics thrives on old, long-standing problems, in addition to new ones. I myself have not worked on a long-standing problem, though I very much appreciate them. One of the most famous ones is the Hodge conjecture, which concerns homology of complex smooth algebraic varieties. Any subvariety determines a class in this homology, and of course there are many more classes coming from non-algebraic subobjects. The Hodge conjecture is saying that if a class ‘looks like’ it comes from a variety, it actually does. I like this problem because we‘ve seen some progress from different sides, including combinatorics.

(русский перевод Юлии Александр)

Ю: В какой области математики Вы работаете? Расскажите немного о своей исследовательской деятельности.

Б: Я работаю в нескольких областях — комбинаторике, коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. Однако, меня всегда интересовала и вдохновляла прикладная сторона математики, поэтому моя исследовательская деятельность также включает в себя статистику, оптимизацию, вычислительную биологию и, в последнее время, физику элементарных частиц. С недавних пор мою область называют ’Нелинейной алгеброй”. Так же называется и моя лекция на МКМ. Я убежден, что нелинейные методы, особенно те, что взяты из алгебраической геометрии, являются естественным следующим шагом после линейной алгебры, и что их потенциал все еще сильно недооценен. Ознакомьтесь с новым учебником, который я написал вместе с Матеушем Михалеком.

Ю: Это, действительно, отличная книга. Каким был Ваш путь в математике?

Б: В школе у ​​меня не было специальной математической подготовки. После обязательной военной службы в Западной Германии я решил поступить на новую программу под названием “Математика с информатикой” в Дармштадтском техническом университете. Вот там-то я и полюбил математику, особенно дискретную геометрию, а точнее, многогранники и матроиды. После бакалавриата я получил стипендию, чтобы поехать на год в Вашингтонский университет в Сиэтле. Там я безумно влюбился в студентку из Кореи, которая впоследствии стала моей женой. Мой научный руководитель в Германии хотел, чтобы я вернулся в Дармштадт, но я хотел остаться в Сиэтле. Из-за этого мне пришлось написать две докторские диссертации, обе довольно посредственные в ретроспективе. После постдокторских исследований в Миннеаполисе и Линце я преподавал в Корнельском университете, а в 1995 году перешел в Калифорнийский университет в Беркли, где я до сих пор являюсь профессором математики, статистики и информатики. С 2017 года я также являюсь директором Института математики и естественных наук имени Макса Планка в Лейпциге.

Ю: Получается, Вы открыли для себя красоту математики в университете, но когда Вы поняли, что хотите построить карьеру ученого?

Б: Это было где-то в 1987-88 годах, холодной зимой в Миннеаполисе, когда я работал в Институте математики и ее приложений (IMA). Я вдруг осознал, что кто-то платит мне за работу, которую я люблю, а именно за математические исследования. Это было удивительно, но мне почему-то казалось, что они ошиблись, заплатив мне. Я чувствовал себя самозванцем, и это меня беспокоило.  Я сидел на семинарах и ничего не понимал. Я ходил в библиотеку, и все книги казались мне непостижимыми. Мне также казалось, что остальным все было понятно. Я решил подождать и посмотреть. Когда-то же они поймут, что я мошенник. Однако, этого все еще не произошло.

Ю: Я уверена, что многие из нас могут увидеть себя в этой истории. Так называемый “синдром самозванца” действительно часто встречается у молодых ученых. С какими еще трудностями Вам пришлось столкнуться в своей карьере? Какие уроки Вы усвоили из них?

Б: После того, как я защитил свою немецкую диссертацию в 1987 году, отношения с моим научным руководителем из Дармштадта испортились. Ему не понравилось, что я решил остаться в США. Ему также казалось, что я краду его идеи и строю на них свой успех. Из-за этого он стал писать мне плохие рекомендательные письма, и я почти сдался и отказался от своей мечты стать математиком. Однако, в Миннеаполисе у меня было много друзей и наставников, которые поддерживали меня. Особенно Бруно Бухбергер и Виктор Клее помогли мне остаться верным себе и своей цели. Я понимал, что математика и исследования — это, для меня, глубоко личное и эмоциональное дело. Я также знал, что очень важно научиться иметь дело с людьми, даже если иногда это означает держаться подальше от некоторых из них.

За все эти годы я также столкнулся с рядом трудностей, связанных с тем, что моя математика попросту не является общепринятой. В частности, прикладные математики смотрели на меня с подозрением: как этот алгебраист посмел ступить на их территорию? Это было обычным явлением в 2000-х, когда я интенсивно работал в области вычислительной биологии с Лиором Пахтером. Из всего этого я усвоил, что существует много разных точек зрения на одну и ту же тему, и нужно быть терпимым и прилагать усилия, чтобы их понять. Конечно, также очень важно не сбиться с курса.

Ю: Это очень интересно. В самом деле, очень важно научиться взаимодействовать с коллегами. Есть ли математики, которые вдохновляют Вас? Почему?

Б: Конечно, таких очень много, начиная с тех, кто публиковались в 19 веке. Поскольку я знаю немецкий, у меня есть некое преимущество в изучении работ Гильберта, Римана и других. Однако, в наши дни можно найти отличные переводы классической математики. Мой герой того периода — Феликс Кляйн. Он объединял в себе любовь к глубокой математике и математическому образованию. Он пишет как философ: вдохновляюще, но очень ясно.

Я также черпал вдохновение от многих математиков, с которыми мне довелось общаться и даже работать лично. Вот, например, десять человек, которых мне посчастливилось иметь в качестве соавторов: Джан-Карло Рота, Луи Биллера, Гюнтер Зиглер, Израиль Гельфанд, Андрей Зелевинский, Михаил Капранов, Дэвид Айзенбад, Алисия Дикенштейн, Лиор Пахтер, Пабло Паррило. Работать с ними было невероятно интересно.

Ю: Это прекрасно. Когда Вы говорили о Феликсе Кляйне, Вы упомянули, что он сочетал математику со страстью к образованию. На данный момент Вы сами работали с более чем 60 аспирантами и еще большим числом постдоков. Вам нравится быть наставником?

Б: Работа с аспирантами и постдоками это лучшая часть моей профессии. Это естественно, что люди тяготеют к занятиям, которые у них хорошо получаются, и я думаю, что у меня хорошо получается работать с молодыми математиками и помогать им на ранних этапах карьеры. Надо признать, что это также дает мне самому возможность делиться своими идеями и результатами. В конце концов, работа с аспирантами расширяет спектр возможностей, используемых для решения задач, чего гораздо труднее добиться, работая и публикуя в одиночку.

Ю: Как бы Вы описали свой стиль научного руководительства?

Б: Мой стиль — настойчивый и интерактивный. Один мой коллега однажды назвал его самурайским методом. Я знакомлю студентов и постдоков с множеством проблем и областей. Также я знакомлю их друг с другом, поощряя сотрудничество. Несколько лет назад я написал статью под названием “Adventures in Mentoring” для раздела “Ранняя карьера” уведомлений AMS. Вы можете найти ее на моей странице.

Ю: На странице МКМ говорится, что вы твердо верите в совершенство через разнообразие и аксиомы, изложенные Федерико Ардилой. Что гласят эти аксиомы?

Б: Эти четыре аксиомы появились в статье Федерико “Todos Cuentan: Cultivating Diversity in Combinatorics” в Уведомлениях AMS в 2016 году. Они гласят:

Аксиома 1. Математический потенциал равномерно распределен между разными группами людей, независимо от географических, демографических и экономических границ.

Аксиома 2. Каждый может получить положительный, значимый и вдохновляющий опыт в математике.

Аксиома 3. Математика — это мощный, гибкий инструмент, который может быть приспособлен и использован разными сообществами по-разному для удовлетворения своих потребностей.

Аксиома 4. Каждый ученик заслуживает уважительного и достойного отношения.

Ю: Это, безусловно, отличные аксиомы, на которые стоит опираться. Как вы думаете, почему в математике так важно разнообразие?

Б: Я верю в совершенство через разнообразие. Некоторые люди считают, что поощрение разнообразия конфликтует со стремлением к академическим успехам. Я же, напротив, заметил обратное. Истинный успех инклюзивен. Много лет я готовил (и готовлю) студентов и постдоков к академической карьере в ведущих исследовательских институтах, и мой подход всегда заключался в создании разнообразной, инклюзивной и поддерживающей друг друга команды. В конце концов, это идет на пользу каждому в математическом сообществе. Возьмем, к примеру, самый типичный исследовательский семинар. Не секрет, что он может быть не самым гостеприимным местом для молодых ученых. Тон и атмосфера чрезвычайно важны. Я обнаружил, что активное участие женщин и членов других недостаточно представленных групп имеет огромное значение. По своему опыту могу сказать, что существует некий порог, где-то 30%, при котором происходит фазовый переход. То есть, когда члены недостаточно представленных групп составляют не менее 30% аудитории, семинары становятся интересными и продуктивными для всех.

Ю: На Ваш взгляд, математика — это уединенная или социальная деятельность?

Б: Лично для меня математика — это социальная деятельность. Однако, для других это может быть не так. Многие выдающиеся математики работают в одиночку. Уединение дает им  время и пространство, чтобы глубоко погрузиться в трудную задачу и решить ее.

Ю: Говоря о задачах, поиск хорошей исследовательской задачи может быть непростым для молодых математиков. Как Вы выбираете исследовательские задачи, над которыми работаете? Есть ли алгоритм, которым Вы можете поделиться?

Б: Я никогда не считал это трудным. Есть много хороших задач. Просто нужно открыть глаза, поговорить с людьми, почитать нужную литературу. Каждая решенная задача приводит к трем новым нерешенным. А вот поиск решений всегда был для меня проблемой потруднее. В конце концов, хорошие задачи часто бывают сложными. Один из алгоритмов, который я могу порекомендовать, — это вести записи. Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с идеей, которая может привести к проекту, очень четко запишите ее. Проведите эксперименты на компьютере, запишите предварительные результаты. Также не бойтесь делиться недоработанными идеями со своими коллегами.

Ю: Это отличный совет. Теперь позвольте мне задать Вам несколько более философских вопросов об успехе в математической сфере. Некоторые люди считают, что для того, чтобы стать успешным математиком, нужно начинать изучать ее серьезно в очень раннем возрасте. Согласны ли вы с этим утверждением? Бывает ли слишком поздно?

Б: Это действительно так, что люди, которые очень рано начали заниматься математикой, имеют определенное преимущество, когда дело касается технических навыков. В этом смысле математика похожа на спорт и музыку. Но как и в этих сферах, люди могут начать ей заниматься в любом возрасте. Я сам узнал о математических исследованиях только когда мне был 21 год. Я также знал коллег, которые начали еще позже.  На мой взгляд, математика — гостеприимная наука для тех, кто ее любит, вне зависимости от возраста. Важным аспектом в математических науках является преподавание, так как оно является большой частью нашей профессии. Часто те, кто присоединились позже, становятся отличными педагогами.

Ю: Приятно знать, что у всех нас есть надежда. Что важнее для математика: талант или упорный труд?

Б: Упорный труд, конечно. Талант — это то, с чем человек рождается, или то, что в нем воспитывается в раннем возрасте, например, родителями. Наш талант — это не то, на что мы сами можем повлиять, но трудолюбие зависит от нас самих. Это то, что мы можем контролировать; особенно в окружении единомышленников усердная работа может приносить массу удовольствия.

Ю: Я тоже это заметила. Кроме усердной работы, как добиться успеха в математике? Есть ли такое качество, которое должен иметь каждый начинающий математик?

Б: В целом, наверное, нет. Однако, социальные навыки намного важнее, чем многие математики готовы признать. Очень важно уметь общаться с коллегами и учениками. Важно уметь презентовать свои идеи и взаимодействовать с другими. Важно уметь убедить комитеты по найму и финансовые агентства. Например, возьмите себя. Ваш путь к математике был не самым прямым, но у Вас отличные социальные навыки. Это будет иметь огромное значение в Вашей карьере. Вы умеете руководить командой. Я ожидаю, что Вы станете успешным математиком-исследователем, если сами того пожелаете.

Ю: Большое спасибо за добрые слова. Какой главный совет вы бы дали таким молодым математикам, как я?

Б: Не сдавайтесь. Не слушайте родственников, которые советуют вам стать юристом или врачом. Не бойтесь обращаться к профессиональным математикам и просить их совета. Они только выглядят устрашающе, но, в большинстве своем, они действительно приятные и отзывчивые люди.

Ю: С какими основными проблеми приходится сталкиваться профессиональным математикам?

Б: Одна очевидная проблема, которая может беспокоить молодых ученых, это получение должности в академической сфере. Это требует самоотверженности, настойчивости и готовности переехать в места, о существовании которых вы даже не подозревали. Вы должны быть готовы на время покинуть свою семью и родной город, чтобы увидеть мир. Это может стать испытанием для многих, особенно если человек готов создать семью. По моему опыту, все это можно преодолеть с помощью и поддержкой хороших наставников и коллег.

Ю: Считаете ли Вы математику, в каком-то смысле, видом искусства? Если да, где Вы черпаете вдохновение? Если нет, то что для Вас математика?

Б: Математика — это определенно искусство, а окружающий мир —вдохновение. Очень заманчиво поверить в Создателя. Моя математика черпает вдохновение из окружающего меня мира. Облако в небе — это спектраэдр. Скатерть — это алгебраическая поверхность. Концертный зал похож на многогранный комплекс.

Ю: Вы назвали несколько математических объектов — у Вас есть любимый?

Б: Моим любимым математическим объектом стал логотип Группы нелинейной алгебры в Институте математики и естественных наук имени Макса Планка в Лейпциге. Это трехмерное выпуклое тело, известное как эллиптоп или самоса. Это надутый тетраэдр, похожий на те восхитительные самосы, которые можно съесть в индийском ресторане. Это не многогранник, а спектраэдр, и он играет важную роль для Гауссовских моделей в статистике и для полуопределенного программирования в оптимизации. Алгебраическим геометрам этот объект известен как кубическая поверхность Кэли. Они его получают, раздувая проективную плоскость в шести точках пересечения четырех общих линий. Мне нравится эллиптоп, потому что он представляет собой единство теоретической и прикладной математики в моей области.

Для меня математика — это язык, который нас связывает. Эта связь выходит за рамки культуры. По-моему, Пуанкаре сказал: “Поэзия — это искусство называть одно и то же разными именами, а математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем”. В моем понимании, это очень верно.

Ю: На самом деле, я думаю, что у поэзии и математики много общего. Еще Эйнштейн назвал математику “поэзией логических идей”. Что ж, Санкт-Петербург — очень поэтический город. Вы бывали там раньше?

Б: Я никогда не был в Санкт-Петербурге. Должен признаться, я вообще не бывал в России. Поэтому я с нетерпением жду следующего лета, когда я впервые приеду в Россию и Санкт-Петербург.

Ю: Что Вы больше всего хотите сделать или увидеть в Санкт-Петербурге?

Б: Ну, во-первых, сам МКМ. Всегда приятно узнать, что сейчас происходит в современной математике. Я также с нетерпением жду возможности увидеть главные достопримечательности: посетить Эрмитаж, насладиться белыми ночами, может даже съездить к Балтийскому морю.

Ю: Вам когда-нибудь нужен перерыв от математики? Чем Вам нравится заниматься в свободное время?

Б: Иногда я делаю перерыв, езжу в отпуск. Я люблю походы, люблю кататься на лыжах. Однако, делать перерыв бывает сложно. Математика —это моя жизнь: я просыпаюсь утром, думаю об интересных задачах… Я вижу математику повсюду, поэтому я не делаю перерывов часто, так, иногда.

Ю: Смотря вперед, как, Вы думаете, выглядит будущее математики? Какие популярные направления стоит изучать молодым ученым?

Б: Трудно сказать в общем, так как есть много разных интересных направлений. Когда я смотрю на список классификаций МКМ, а их 20, все они очень интересны, от логики до истории математики. Я думаю, что математическая физика имеет большое влияние на геометрию, алгебру и топологию. Если взять медалистов Филдса за последние 20-30 лет, можно заметить, что почти половина из них так или иначе связана с физикой. У меня есть надежда, что, в конечном итоге, биология и естественные науки будут играть похожую роль. Как скоро это случится — неизвестно. В любом случае, у математики светлое будущее. Сейчас, как вам, вероятно, известно, наука о данных (data science) у всех на уме. Возможно, ваши родители не только предлагают вам стать юристом или врачом, но и специалистом по данным. Студенты часто спрашивают меня, какая область математики имеет непосредственное отношение к науке о данных. Мой ответ: ваша область. Именно вы можете применить знания в вашей области к изучению данных.

Ю: Какая Ваша любимая нерешенная математическая задача?

Б: Математика процветает не только на новых, но и на давних задачах. Я сам не работал над очень давними задачами, хоть и ценю их. Одна из самых известных — гипотеза Ходжа, касающаяся гомологий комплексных гладких алгебраических многообразий. Любое подмногообразие определяет класс в этой гомологии, но, конечно, существует гораздо больше классов, происходящих от неалгебраических подобъектов. Гипотеза Ходжа утверждает, что если класс “выглядит так”, будто он происходит от многообразия, то это действительно так. Мне нравится эта задача, потому что мы видим продвижение и успехи в ее решении из различных областей математики, например, комбинаторики.