A math problem from the Prime Minister

4 September, 14:00

English version/Russian version

Russian Prime Minister Mikhail Mishustin, who came to the Kapitsa Phystech-Lyceum on the Knowledge Day (September 1), visited the 11th grade students during their math lesson and asked them to solve a math problem. At this time, students were solving a problem dedicated to the analysis of business projects.

“Why do you guys need to do business projects in phystech? Fundamental knowledge is needed here, right?” - the head of the government asked.

“In modern times, specialists are needed for all hands, especially in Russia,” the students explained.

Mishustin wrote a problem on the blackboard, in which he suggested that the students construct a perpendicular from the point on the circle to the diameter, without using any measuring devices, and gave them time to solve it, promising to come back later.

The task of the head of government caused a heated discussion in the classroom. The students, together with the teacher, began to look for solutions, expressing their assumptions, but they did not find a way to solve it. Mishustin, who returned to the class, explained the solution of the problem.

It turned out that the answer is quite simple to get. First, one need to draw two-line segments from this point to get a triangle where one side is the diameter. This triangle will be right. Then one needs to take another point on the circle and also connect it with a diameter. By that we get a new right triangle. If you extend the smaller sides of two triangles to their intersection, you will get a large new triangle. It has two altitudes constructed (perpendiculars from the vertex to the opposite side). It is known that the altitudes of the triangle intersect at one point, which means that you can construct the remaining third altitude through the free vertex to the diameter of the circle. The perpendicular is obtained, however, from the wrong point.

Now one needs to extend the diameter and connect two points — the original point and the intersection of the altitude with the circle. This will build up another triangle. Then one needs to reflect it with respect to the diameter. To do this, you need to extend the altitude to the intersection with the other side of the circle and connect two points — the intersection with the circle and the vertex of the new triangle on the diameter. The only thing left is to connect the original point and the point of intersection of the new triangle side with the circle. Due to the symmetry of the construction, this will be the perpendicular.

 “Of course, it is very important to solve problems related to business and with the application of mathematical fundamental knowledge that you possess. But it seems to me that at your age it would be good to get some fundamentals. And when you have mathematical knowledge, physics, chemistry, you will be able to solve any problems, including business, ” Mishustin told the guys.

English version/Russian version

Задачка от премьер-министра

Премьер-министр России Михаил Мишустин, который в День знаний приехал в физтех-лицей имени П. О. Капицы, зашел к одиннадцатиклассникам на урок математики и задал лицеистам физтеховскую задачу. Учащиеся в это время решали задачу, посвященную анализу бизнес-проектов.

“Зачем же в физтехе бизнес-проектами заниматься, ребята? Здесь нужны фундаментальные знания, правильно?” — спросил глава правительства.

“В современное время нужны специалисты на все руки, особенно в России”, — объяснили ученики.

На классной доске Мишустин начертил задачу, в которой предложил ребятам провести перпендикуляр от точки окружности к диаметру, не используя никаких измерительных приборов, и дал ребятам время на ее решение, пообещав зайти позднее.

Задачка главы правительства вызвала бурное обсуждение в классе. Школьники вместе с учителем начали искать варианты решения, высказывая свои предположения, но так и не справились с ней. Вернувшись в класс Мишустин объяснил ребятам решение задачи.

Оказалось, что ответ достаточно просто получить. Сначала нужно из данной точки провести два отрезка, чтобы получился треугольник, опирающийся на диаметр. По определению этот треугольник будет прямоугольный. Потом взять на окружности еще одну точку и так же соединить ее отрезками с диаметром. Появится новый прямоугольный треугольник. Если продлить меньшие стороны двух треугольников до пересечения получится новый большой треугольник. Причем в нем окажутся построены две высоты — перпендикуляра из вершины на сторону. Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, а значит можно провести оставшуюся третью высоту — через свободную вершину к диаметру окружности.

Перпендикуляр получен, однако не из той точки, которой нужно. Теперь нужно продлить диаметр и соединить прямой две точки — исходную точку и пересечение высоты с окружностью. Получится еще один треугольник. Его нужно симметрично отразить относительно диаметра. Для этого высоту нужно продлить до пересечения с другой стороной окружности и соединить две точки — место пересечения с окружностью и вершину нового треугольника на диаметре. Остается провести последний отрезок — между исходной точкой и точкой пересечения стороны нового большого треугольника с окружностью. В силу симметричности построения это и будет перпендикуляр.

“Конечно, очень важно решать задачи, связанные с бизнесом и с приложением математических фундаментальных знаний, которыми вы обладаете. Но мне кажется, в вашем возрасте хорошо бы фундаменталки поднабраться. А когда вы будете обладать математическими знаниями, физикой, химией, вы сможете решать любые задачи, включая бизнес”, — сказал Мишустин ребятам.